Desigualdades

por diego_barreto Sex 03 Jul 2015, 19:02

Sejam x, y, z números reais positivos tais que
Desigualdades Xdt6dy

Prove que 8xyz é menor ou igual a 1.

por **jango feet** Sex 03 Jul 2015, 21:37

Aplicando M.A>=M.H teremos:

$\frac{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{\frac{1}{1+x}}+\frac{1}{\frac{1}{1+y}}+\frac{1}{\frac{1}{1+z}}}\rightarrow 2 \geq \frac{9}{3+x+y+z}\\ \rightarrow x+y+z+3 \geq \frac{9}{2}\ \therefore x+y+z \geq \frac{3}{2} \rightarrow \therefore \boxed{\frac{x+y+z}{3} \geq \frac{1}{2}}$

Aplicando M.A>=M.G:

$\frac{x+y+z}{3} \geq \frac{1}{2} \rightarrow \frac{x+y+z}{3} \geq \sqrt[3]{x.y.z}\rightarrow \frac{1}{2} \geq \sqrt[3]{x.y.z} \therefore \boxed{1 \geq 8.x.y.z}$

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