Função cosseno

Na figura abaixo tem-se o gráfico de uma função f, de IR em
IR, definida por f(x) = k.cos tx, em que k e t são constantes
reais.



Se o período de f é 4 π  , então f( 16 π / 3 ) é igual a : 


(A) √ 3
(B) 1
(C) – 2
(D) – 1
(E) – √ 3

Spoiler:

 A equação da mediatriz do segmento de extremos A e B é :


(A)  2πx + y = 4 + 3π²
(B)  2πx − y = 4 + 2π²
(C)  2πx + 4y = 4 + 2π²
(D)  2πx − 4y = 4 + 2π²
(E)  2πx + 4y = 4 + 3π²



 

Spoiler:

Gostaria que a resposta estivesse bem detalhada, pois não domino este assunto. Se possível indique os passos que você utilizou para chegar no resultado final. Obrigado desde já!  

seja o período de uma função genérica dado por P = p/|c|
no caso deste exercício, P = 4pi; p = 2pi e |c| = t
então: 4pi = 2pi/t <=> t = 1/2

olhando o gráfico, vemos que quando x = 0, a função deveria ser 1, como t não interfere na vertical do gráfico, conclui-se
que k = -2

reescrevendo a função;
f(x) = -2cos[(1/2)x]; fazendo x = 16pi/3
f(16pi/3) = -2cos(8pi/3); 8pi/3 é um ângulo côngruo de 2pi/3

f(16pi/3) = -2cos(2pi/3) = -2.(-1/2) = 1.(B)


faça uma tabela com a nova função que montamos.
f(x) = -2.cos[(1/2)x] tem que chutar valores.

descobre-se que A(2pi, 2) e B(pi, 0)
ponto médio M[(3pi/2), 1]
sendo mAB o coeficiente angular mAB = ∆ y/∆ x =
(2 - 0)/(2pi - pi); mAB = 2/pi
a mediatriz é perpendicular a reta AB, logo mAB.m' = -1 <=> m' = -pi/2
com o coeficiente angular e um ponto, monta-se a reta.

y - yo = m(x - xo) = y - 1 = (-pi/2).(x - 3pi/2)
desenvolvendo
2pix + 4y = 4 + 3pi²