Derivadas Parciais

por **Pietro di Bernadone** Dom 09 Nov 2014, 08:50

Suponha que você esteja subindo uma montanha cuja forma é dada pela equação z = 1000 - 0,005x² - 0,01y², onde x, y e z são medidos em metros e você está em um ponto com coordenadas (60 , 40 , 966). O eixo x positivo aponta para leste e o eixo y positivo aponta para o norte.

a) Se você andar exatamente para o Sul, começará a subir ou a descer? Com que taxa?

b) Se você caminhar em direção ao Noroeste, começará a subir ou a descer? A que taxa?

c) Em que direção a inclinação é maior? Qual é a taxa de elevação nessa direção? Qual é o ângulo que o início desse caminho faz em relação à horizontal?

por Man Utd Dom 09 Nov 2014, 14:11

Sabendo que a derivada direcional é dada por : $\\\\ D(x_{0},x_{0})_{\vec{u}}=\nabla f(x_{0},y_{0}) \cdot \vec{u}$ em que $\\\\ \vec{u}$ é um vetor normalizado.

a) Pede-se a derivada direcional na direção do vetor $\\\\ -\vec{j}$ , logo :

$\\\\\\ D(60,40)_{(0,-1)}=\nabla f(60,40) \cdot (0,-1) \\\\\\ D(60,40)_{(0,-1)}=\left( -0.6\;, \; -0.8 \right ) \cdot (0,-1) \\\\\\ D(60,40)_{(0,-1)}=0,8$

Como a taxa é positiva pode-se dizer que está subindo.

b) Pede-se a derivada direcional na direção do vetor $\\\\\\ -\vec{i}+\vec{j}$ :

$\\\\\\ D(60,40)_{(-1,1)}=\nabla f(60,40) \cdot (-1,1) \\\\\\ D(60,40)_{(-1,1)}=\left( -0.6\;, \; -0.8 \right ) \cdot (-1,1) \\\\\\ D(60,40)_{(-1,1)}=-0.2$

Como a taxa é negativa pode-se dizer que está descendo.

c) pede-se o gradiente o qual já calculamos e é $\\\\\\ \nabla f(60,40) =\left( -0.6\;, \; -0.8 \right )$ , taxa seria o módulo do vetor gradiente isto é "1" (faça as contas).O ângulo que o vetor faz na horizontal é : $\\\\\\ \cos \alpha=-0.6 \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; \alpha=\text{arc cos}\left(-0.6 \right )$ .

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