Área do trapézio

por **Fafa** Sáb 24 Jul 2010, 22:46

ABC é um triãngulo inscrito num círculo de raio 3 m, cujos lados AC e BC são respectivamente iguais aos lados do quadrado e do triângulo equilátero inscritos. O diâmetro paralelo ao lado BC intercepta os lados AB e AC nos pontos M e N, respectivamente. Calcular a área do trapézio BMNC.

[justify]

Resposta: 6,37 m²

por **adriano tavares** Ter 27 Jul 2010, 20:05

Olá, Fafa.

Área do trapézio Trapziomnbc

Sendo BC lado de um triângulo equilátero inscrito teremos:

$l_3=R\sqrt{3}\Rightarrow l_3=3\sqrt{3}$

De maneira análoga para o lado AC teremos:

$l_4=R\sqrt{2}\Rightarrow l_4=3\sqrt{2}$

Utilizando a lei dos senos temos:

$\frac{AC}{senB}=\frac{BC}{senA}=2R$

$senB=\frac{AC}{2R}\Rightarrow senB=\frac{3\sqrt{2}}{6}\Rightarrow senB=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow B=45^\circ$

$senA=\frac{BC}{2R}\Rightarrow senA=\frac{3\sqrt{3}}{6}\Rightarrow senA=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A=60^\circ$

$sen75^\circ=sen(30^\circ+45^\circ)=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Cálculo da área do triângulo ABC.

$A=\frac{AB.BC.sen75^\circ}{2}\Rightarrow A=\frac{3\sqrt{2}.3\sqrt{3}(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{8}\Rightarrow A=\frac{9\sqrt{3}+27}{4}$

Calculo da altura AH.

$\frac{9\sqrt{3}+27}{4}=\frac{3\sqrt{3}.AH}{2}\Rightarrow AH=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$

A altura do trapézio MNBC é igual ao apótema do triângulo equilátero de base BC pois, o diâmetro do círculo passa pelos pontos M e N, que é paralelo a BC.

Cálculo da altura do trapézio.

$x=\frac{1}{3}.\frac{l\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}$

A altura do triângulo do triângulo AMN é igual a (AH-x).

$AH-x=\frac{3+3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Sendo os triângulos ABC e ABN semelhantes a razão entre suas é $k^2$ , ou seja igual ao quadrado da razão de semelhança.

$\frac{A_{AMN}}{A_{ABC}}=\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}.\frac{2}{3+3\sqrt{3}}\right)^2=\frac{6-3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A_{AMN}=A_{ABC}.\frac{6-3\sqrt{3}}{2}$

$A_{AMN}=\frac{9\sqrt{3}+27}{4}.\frac{6-3\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A_{AMN}=\frac{81-27\sqrt{3}}{8}$

Logo, a área do trapézio MNBC será:

$A_{MNBC}=\frac{9\sqrt{3}+27}{4}-\frac{81-27\sqrt{3}}{8}=\frac{45\sqrt{3}-27}{8}$

$A_{MNBC}\approx 6,37 m^2$

por **Fafa** Ter 27 Jul 2010, 23:39

Obrigada Adriano.

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