Limite de uma função de duas variáveis

por Adriana Luz Lima Dom 12 Out 2014, 21:08

Mostre que o limite abaixo não existe:
lim┬((x,y)→(1,0))〖((x-1)²y)/(〖(x-1)〗^4+y²)〗

por Man Utd Dom 12 Out 2014, 21:38

Olá

Primeiro faça uma susbtituição : $\\\\\\ u=x-1 \;\;\; , \;\;\; v=y \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (x,y) \to (1,0) \;\;\;\; , \;\;\;\; (u,v) \to (0,0)$ ficando com :

$\\\\\\ \lim_{ (u,v) \to (0,0) } \frac{u^2v}{u^4+v^2}$

Para mostrar a inexistência tem que usar a regra dos caminhos :

por (u,0) :

$\\\\\\ \lim_{ u \to 0 } \; \frac{u^2*0}{u^4+0^2}=0$

por (0,v) :

$\\\\\\ \lim_{ v \to 0 } \; \frac{0^2*v}{0^4+v^2}=0$

por (u,u²) :

$\\\\\\ \lim_{ u \to 0 } \; \frac{u^2*u^2}{u^4+(u^2)^2} \\\\\\ \lim_{ u \to 0 } \; \frac{u^4}{u^4+u^4}=\frac{1}{2}$

Como obtivemos valores diferentes por curvas que passam por (0,0) , podemos afirmar pela regra dos caminhos que o limite não existe.

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