Elipse

por marcoscastelobranco Sáb 20 Set 2014, 23:46

Dê a equação da elipse que passa pelos pontos (2,0), (-2,0) e (0,1).

resposta:x² + 4y² = 4

por **Euclides** Dom 21 Set 2014, 00:09

Plote os pontos que as coisas ficam claras. Porém, para os pontos fornecidos a resposta não é a que informou.

Elipse Image

\\\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a^2=1^2+2^2\;\;\to\;\;a^2=5\\\\\frac{x^2}{5}+y^2=1\;\;\to\;\;x^2+5y^2=5

por PedroCunha Dom 21 Set 2014, 00:17

Euclides, eu tentei fazer assim também, mas nesse caso, a elipse não passa por (-2,0) e (2,0). Ela tem focos nesses pontos.

Porém, utilizando a elipse fornecida pelo gabarito:

Elipse 35k791g

Concorda?

por **Euclides** Dom 21 Set 2014, 00:26

Pimba!!! passa pelos pontos dados. Do jeito que eu desenhei não passa. Daí fica simples: 2a=4 ---> a^2=4

x^2+4y^2=4

por PedroCunha Dom 21 Set 2014, 00:38

Euclides, como posso garantir que a distância entre os pontos (2,0) e (-2,0) da elipse é a medida do eixo maior?

É porque eles são da forma (k,0) e (-k,0)?

E uma outra dúvida: como posso encontrar a equação de uma elipse dados três pontos quaisquer? Sem fazer desenho.

Sei que a equação geral é \\ \frac{(x-x_c)^2}{a^2} + \frac{(y-y_c)^2}{b^2} = 1 : como posso afirmar que o centro é a origem?

Desculpe por todas as dúvidas, mas esse assunto é novo para mim.

Abraços,
Pedro

por **Euclides** Dom 21 Set 2014, 02:07

Oi, Pedro

minha geometria de cônicas é mais para consumo próprio... na equação geral

$Elipse Png$

x_c,\;\;y_c são as coordenadas do centro e obviamente serão iguais a zero para o centro na origem. Por três pontos quaisquer (apenas) não é possível definir uma única elipse

Elipse Image

No exercício dado demos a equação de uma elipse que atende aos dados. A simetria dos pontos é na verdade uma informação adicional que permite definir um eixo e um centro possíveis, assim como a posição do terceiro ponto permite escolher o outro eixo.

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Anexos