Área do Trapézio

Seja ABCD um trapézio de bases AB e CD e com diagonais se cortando no ponto P. Se as áreas dos triângulos ABP e CDP medem 9 e 16, então a área de ABCD é:

A) 25
B) 36
C) 49
D) 64

Spoiler:

1° parte) No trapézio ABCD temos, por semelhança, que a razão entre as áreas do triângulo ABP e CDP é igual a razão das alturas ao quadrado.

Assim:  9/16 = (x/ h-x)²  ->  9/16 = x²/ h² - 2hx + x²

x²=9  qndo h²-2hx+x² for igual a 16.

substituindo os valores de x em h encontramos que h=7

2° parte) A área do triângulo menor é AB.X/2 = 9

substituindo o valor de x encontrado na 1° parte, temos:

AB.X/2 = 9  ->  AB.3/2 = 9  -> AB= 6

Fazendo a msm coisa com a área do outro triângulo fornecido, temos:

CD(h-x)/2 = 16 ->  CD(7-3)/2 = 16 -> CD = 8

3° parte) Agora é só substituir na fórmula de área de trapézio 
 
(AB+ CD). h /2 = S(trapézio)

(6+.7/2 = S(trapézio)

14.7/2 = S(trapézio)

7.7 = S(trapézio)

S(trapézio) = 49

Letra C

sejam:
H = altura do trapézio
h' = altura do triângulo de área 16
h'' = altura do triângulo de área 9

16/9 = (h'/h'')² -----> h' = (4/3).h''
H = h' + h'' -----> H = (7/3).h''

16/9 = (CD/AB)² -----> CD = (4/3).AB

área triâng. ABP = 9 = AB.h''/2 -----> AB.h'' = 18

S = (AB + CD).H/2 = (AB + 4AB/3).(7h''/3)/2 = (49/18).AB.h''

S = (49/18).18 -----> S = 49

Muito obrigado!!

Por nada ^^