Domínio da Função

A primeira condição é que X∈ℝ.
Como a função está dentro de uma raiz e não existe no conjunto dos ℝ resultado para uma raiz quadrada < 0, a gente pode concluir que:

(x³ + x - 2)/(4-x²) ≠ 0 ⇒
x³ + x - 2 ≠ 0 ⇒
x(x²+x)-2 ≠ 0 ⇒
x(x(x+1)-2) ≠ 0  [Aqui dá para perceber que, se x for igual a 1 a equação seria igual a ZERO, e queremos que seja ≠ 0, portanto: ] ⇒
x' ≠ 1 (Já que 1 é a raiz dessa equação)


Além disso, como temos uma fração (divisão), o denominador não pode ser zero. Portanto:
4-x² ≠ 0 ⇒ 
-x² ≠ -4 ⇒ x² ≠ 4 ⇒ 
x ≠ ±2

Portanto o domínio é D = {x∈ℝ | x≠1 ∧ x ≠ ±2 }

rrrjsj36, permita-me corrigi-lo. O que você fez foi determinar os valores de x que não zeram o radicando (e ainda errou na resolução da equação do terceiro grau). No entanto, o radicando pode, sim, ser igual a zero; o que ele não pode, e você se esqueceu, é ser menor que zero. Na verdade, você começou explicando de maneira correta. Então, de fato teremos:
\frac{x^3 + x - 2}{-x^2 + 4} \geqslant 0
Agora vamos resolver a inequação acima. Primeiramente, seria interessante eliminar o terceiro grau da nossa equação. No trinômio x³ + x - 2, fácil perceber que x = 1 é raiz. Então, este trinômio pode ser dividido por (x - 1), por Briot-Ruffini. (Caso não conheça, pesquise sobre o método, é bem simples) Feitas as transformações, teremos:
\frac{(x-1)(x^2 + x + 2)}{-x^2 + 4} \geqslant 0
No trinômio do segundo grau x^2 + x + 2, temos \Delta =  1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 < 0 , e, como o coeficiente de x² é positivo, o trinômio será sempre maior que zero. Então podemos dividir a inequação por este trinômio, e teremos uma forma bem mais simples.
\frac{x-1}{-x^2 + 4} \geqslant 0
Agora ficou fácil. Sabemos que para x > 1 teremos x - 1 > 0. Então, façamos a divisão da inequação por (x - 1), e então a interseção da solução com x > 1:
\frac{1}{-x^2 + 4} \geqslant 0 \Leftrightarrow -x^2 + 4 > 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2
Então:
(-2 < x < 2) \wedge ( x > 1) \Leftrightarrow 1 < x < 2 \, \text{(I)}
Da mesma forma, para x < 1 teremos x - 1 < 0, então dividiremos a inequação por x - 1 e inverteremos a desigualdade.
\frac{1}{-x^2 + 4} \leqslant 0 \Leftrightarrow -x^2 + 4 < 0 \Leftrightarrow x^2 > 4 \Leftrightarrow x > 2 \vee x < -2
E então:
(x > 2 \vee x < -2) \wedge (x < 1) \Leftrightarrow x < -2 \, \text{(II)}
Lembrando que a nossa outra "parcela" do domínio será dada para quando a expressão se igualar a zero. Ou seja:
\frac{x-1}{-x^2 + 4} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \, \text{(III)}
Agora façamos a união.
1 < x < 2 \vee x < -2 \vee x = 1 \Leftrightarrow x < -2 \vee 1 \leqslant x < 2
(Nota: é mais fácil resolver pelo quadro de sinais)
Logo, o nosso domínio real será um intervalo aberto em -2 e no infinito negativo, na união com um outro, fechado em 1 e aberto em 2.

Muito obrigada pela explicação!

Hahaha que isso seria interessante se você tivesse o gabarito da questão, afinal eu posso ter cometido algum erro.