Olimpíada dos EUA

(EUA) Se x e y são números inteiros, quantas soluções possui a equação ?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Mais que 3

Gabarito: Letra C

Olá, medock.

Do lado esquerdo temos um produto da forma k * (k+2).

Temos, antes de mais nada, que testar o caso y = 0:

( x-8 )*(x-10) = 1

Não existe x inteiro.

Para y > 0, o lado direito sempre vai ser par. Para que a igualdade ocorra, x deve ser par também

*
 3*5 = 15, ímpar
 4*6 = 24, par
*

Queremos os casos onde ( x-8 )*(x-10) resultará em uma potência de 2, com x par.

Obviamente que ou x > 10 ou x < 8 (lado esquerdo positivo).

Como servem apenas os onde a forma é k*(k+2), a única possibilidade nesse caso é:

2*4 ou 4 * 2

ou

(-2)*(-4) ou (-4) * (-2)

onde teríamos:

x - 8 = 2 .:. x = 10 (não serve)
x - 8 = -2 .:. x = 6 ; x-10 = -4 .:. x = 6

ou

x-8 = 4 .:. x = 12 ; x-10 = 2 .:. x = 12
x -8 = -4 .:. x = 4 ; x-10 = -2 .:. x = 8 (não serve)

Vejamos:

( 6-8 )*(6-10) = 2^y .:. (-2)*(-4) = 2^y .:. 8 = 2^y --> y = 3
(1 2-8 )*(12-10) = 2^y .:. 4*2 = 2^y .:. 8 = 2^y --> y = 3

Para y < 0, não temos soluções (pode verificar se quiser).

Att.,
Pedro

Como faço pra demonstrar que para y<0 não existe soluções?

Olá.

O produto deve ser da forma k*(k+2)

Para y < 0, 2^y < 1. São da forma 1/2,1/4,1/8, etc.

Nenhum é da forma  k*(k+2).

Não sei como fazer a demonstração 'formal'.

Att.,
Pedro

eu entendi obrigado!