equação logaritmo

por ramos10 Qua 23 Abr 2014, 20:03

a equação log_x (x+1) (log de x+1 na base x) = log_(x+1)x (log de x na base x+1),sendo x um numero real:

gabarito tem uma solução igual a (-1+√5) / 2

por MatheusMagnvs Qua 23 Abr 2014, 22:49

log[x](x+1) = log[x+1](x)

Mas log[x+1](x) = 1/log[x](x+1)

Aplicando na equação inicial, temos:

log[x](x+1) = 1/log[x](x+1) (II)

Seja log[x](x+1) = y.

A equação (II) se torna:

y = 1/y .'. y² = 1 .'. y² - 1 = 0

y = 1 ou y = -1

Desfazendo a substituição y = log[x](x+1), temos:

log[x](x+1) = 1 ou log[x](x+1) = -1

Da definição de log: log[a]b = x .'. a^x = b; aplicando o resultado anterior nas equações obtidas, temos:

x = x+1 ou 1/x = x+1

Então x-x = 1 ou x²+x = 1

Então 0 = 1 (absurdo!) ou x² + x - 1 = 0.

Como 0 =1 é um absurdo, nunca será verdade, então apenas x²+x -1 = 0 será verdade.

Resolvendo x²+x-1 = 0, encontramos como raízes da equação (apenas aplique o algoritmo de Bháskara): x = (-1 ± √5)/2 (III)

Espero ter ajudado. Very Happy

por ramos10 Qua 23 Abr 2014, 23:02

só uma ultima duvida porque log[x+1](x) = 1/log[x](x+1)?
isto é uma propriedade?
Obrigado!

por Imperial Qua 23 Abr 2014, 23:18

Olá, ramos!

É a propriedade da mudança de base, uma das várias propriedades operatórias dos logaritmos, observe:

$\log _{b}a=\frac{\log_{x}a}{\log_{x}b}$

Logo:

$\log _{x+1}(x)=\frac{\log_{x}(x)}{\log_{x}(x+1)}$

Mas:

$\log_{x}(x)=1$

Boa noite! Abraços, bons estudos!