Translação de Parábola

por erifas95 Dom 09 Mar 2014, 13:36

Seja y= ax^2 + bx + c com a pertencente ao conjunto dos reais diferente de zero e, b, c pertencente ao conjunto dos reais. Submete-se esta parábola à translação horizontal (x, y) -> (x+m, y) onde m é a soma das raízes da correspondente equação, de modo a obter uma nova parábola, cujo vértice tem abscissa igual a zero, isto é, está sobre o eixo Oy, mostre que:

g(x)= f(x-m)= ax^2 + k

onde k= -DELTA/2a

Eu comecei a resolver da seguinte forma:

g(x)= a(x-m)^2 + b(x-m) + c = f(x+m)

porém me perdi no final...e a igualdade resulto em:

4axm + 2bm = ax^2 + k

preciso de ajuda!

por Matheus Fillipe Dom 09 Mar 2014, 15:11

K não seria -Delta/4a ? Toda parábola pode ser reescrita assim:

$y=ax^2+bx+c=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a})=a((x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta}{4a^2})$

Em função de seus pontos vértices, como você já poderia imaginar. Se eu faço uma translação m e o x do vértice passa a ser zero, temor que:

$m=-\frac{b}{2a}$

Que é a soma das soluções de:

$ax^2+bx+c=0$

Assim teríamos que:
$g(x)=ax^2-\frac{\Delta}{4a}$