Combinatória

Seja n um número inteiro, n ≥ 0.
a) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Luís e Antônio.
b) Calcule de quantas maneiras distintas n bolas idênticas podem ser distribuídas entre Pedro, Luís e Antônio.
c) Considere, agora, um número natural k tal que 0 ≤ k ≤ n. Supondo que cada uma das distribuições do item b) tenha a mesma chance de ocorrer, determine a probabilidade de que, após uma dada distribuição, Pedro receba uma quantidade de bolas maior ou igual a k.

Obs.: Nos itens a) e b) consideram-se válidas as distribuições nas quais uma ou mais pessoas não recebam bola alguma.

Spoiler:

Veja:

Letra a:

Queremos saber o número de soluções distintas, positivas e inteiras da equação:

l + a = n

Aplicando a fórmula: 

¹Para uma equação do tipo x_1 + x_2 + ... + x_n = k, k e N, o número de soluções distintas, positivas e inteiras é dada pela fórmula:

[n + k -1]!/(k!(n-1)!)

No caso do exercício:

[2+n-1]!/(n!1!)
(n+1)!/n! = n+1

Para a letra b:

Queremos as soluções da equação:

p + l + a = n 

Aplicando a mesma fórmula:


[3 + n -1]!/(n!2!)
(n+2)!/(n!2!)
[(n+2) * (n+1) * n!]/(n!2!)
[ (n+2) * (n+1) ]/2

Para a letra c:

Suponha agora uma solução qualquer da equação da letra b (x,y,z), na qual temos z > k. Sabemos que:

x + y + z = n

Fazendo z' = z - k e subtraindo k dos dois lados da equação:

x + y + z - k = n - k
x + y + z' = n - k

Aplicando a mesma fórmula:

[3 + (n-k) - 1]!/[(n-k)!2!]
[(n-k +2)!]/[(n-k)!2!]
[(n-k+2) * (n-k+1) * (n-k)!]/[(n-k)!2!]
[(n-k+2) * (n-k+1)]/2!

O total de soluções da equação, como vimos em b, é: [ (n+2) * (n+1) ]/2, portanto, a probabilidade pedida é:

{[(n-k+2) * (n-k+1)]/2!}/{[ (n+2) * (n+1) ]/2} 
[(n-k+2) * (n-k+1)]/[(n+2) * (n+1)]

Att.,
Pedro

Obrigada Pedro!