período de f(x)

Defina o período das funções:

a) y = sen(x-3) b)y = cos(x + 3)

Olá,

Sejam:

a, b, c, d -> números reais e positivos

f: R -> R dada por f(x) = a + b*sen ( c*x + d )

fazendo:

c*x + d = t -> quando x percorre R, t percorre R ( pois a função afim é sobrejetora ) e, em conseqüência, sen t percorre o intervalo [ - 1, 1 ], b*sen t percorre o intervalo [ - b, b ] e y = a + b*sen t percorre o intervalo [ a – b , a + b ] que é a imagem de f.
Para que f complete um período é necessário que t varie de 0 a 2*pi, então:

t = 0 => c*x + d = 0 => x = - d/c

t = 2*pi => c*x + d = 2*pi => x = ( 2*pi/c ) – ( d/c )= ( 2*pi - d )/c.

Portanto:

período = [ ( 2*pi- d )/c ) - ( - d/c ) ]

a) y = sen ( x - 3 )

a = 0 ; b = 1 ; c = 1 ; d = - 3

período = [ ( 2*pi - 3)/1 ) - ( 3/1 ) ] = [ 2*pi - 3 = 3 ] => p = 2*pi.


b) y = cos ( x + 3 )

a = 0 ; b = 1 ; c = 1 ; d = 3

p = [ ( 2*pi - d )/c ) - ( - d/c ) ] = [ ( 2*pi + 3 )/1 - 3/1 ] = [ 2*pi + 3 - 3 ] => p = 2*pi.

Fonte: Trigonometria/Gelson Iezzi.


Um abraço.