UNB - triângulos retângulos

(Unb 97) Deseja-se construir uma estrada ligando as cidades A e B, que são separadas por um rio de margens paralelas. Em função do custo, a ponte sobre o rio deve ser perpendicular às margens, e os trechos AC e DB devem ser segmentos de reta, como indica a figura adiante. Suponha que, no sistema cartesiano na figura, o ponto A tenha coordenadas (0, -30), B tenha coordenadas (70, 41) e que o rio ocupe a faixa {(x, y) : x ∈  R e 0 < y < 1}, em que x e y são medidos em quilômetros. 
 


a) Se a ponte for construída de modo que o trajeto ACDB tenha comprimento mínimo, então o ponto C deverá ter coordenadas (30, 0)

Resp: é verdadeira , por quê?

A(0, -30), B(70, 41), D(xC, 1)

Seja ----> xC - xA = m ---> xC - 0 = m ---> xC = m ---> 

xB - xD = 70 - m ----> yB - yD = 41 - 1 = 40   
 
Comprimento total da estrada (sem a ponte) = k \/[(xC - xA)² + (yC- yA)²] + \/[(xB - xD)² + (yB - yD)²] ---->

k = \/[m² + 30²] + \/[(70 - m)² + 40²] 

Derivando e igualando a zero obtém-se m

Um outro modo mais fácil: o caminho minimo ocorre quando a estrada AC é paralela à estrada BD

40/(70 - m) = 30/m ----> m  = 30