Determine o domínio e faça esboço do gráfico.

Pessoal, eu estou fazendo cálculo 1 e estou tendo bastante dificuldade em fazer gráfico de funções, limites e etc... 

Acho que por eu não ter tido uma boa base disso no meu ensino médio, agora estou bem perdido quanto á isso na faculdade, já que eles só passam uma revisão básica por cima desse conteúdo, por isso estou aqui para pedir a ajuda de vocês. 


Só preciso de alguns exemplos resolvidos como esse que irei passar agora, para que eu possa ter uma base de como fazer os outros, já que não achei muitos exercícios parecidos na net. 

Aqui vai:

Determine domínio imagem e faça o esboço do gráfico. 

Para não confundir eu tirei print da questão: 




Resposta:   

Olá

Realmente não ter tido funções direito no colégio dificulta bastante o cálculo I. 

Esse gráfico é fácil, pois é composto de segmentos de retas. Vejamos:

I) Domínio da f:  
, pois

  

Não há nenhuma restrição nos valores re x, como por exemplo, x no denominador (este nunca pode ser zero, pois fazemos os gráficos, no cálculo I, no plano dos Reais)

II) Intersecção com os eixos coordenados



Veja que no último caso, não convém pois f(x) = 2x+1 <=>x >3.

Então, a intersecção com o eixo x dá-se no ponto (1,0)



Assim, a intersecção com o eixo y dá-se no ponto (0, -1)

III) Crescimento/Decrescimento | Máximos e Mínimos locais

obs: estou utilizando todo o cálculo para te passar o "roteiro" que eu utilizo para fazer gráficos. Mas nesse caso, não seria necessário, certo?

Para x<3: f'(x) = 1
Assim, para x<3, o gráfico da f é crescente, pois f'(x) >0

Para x=3: f'(x) =0 (é um ponto)

Para x>3: f'(x) = 2 >0, o gráfico da f é crescente.

IV) Concavidade / Pontos de Inflexão:

Nos demais gráficos, utiliza-se a segunda derivada. verificamos seus sinais. Se f'' > 0, concavidade voltada para cima. Caso contrário, para baixo

Nesse caso, estamos trabalhando com segmentosde retas, não há necessidade de fazermos isso.

V) Limites necessários / Máximos e Mínimos globais:

Fazemos os limites no infinito e nos pontos de descontinuidade:



Pelos dois primeiros limites, verificamos que não há máximos e mínimos globais.

Mas, já podemos achar a imagem.

Veja que o gráfico da f vai de - infinito até 2 (primeiro e ultimo limites), para x = 3, y=5 e tem um "salto", indo do 7 até o + infinito, tal como os outros limites informam.

Assim:


O intervalo é aberto no 2 e no 7 pois f(3)=5, pela definição da função.

Basta agora, esboçar esse gráfico. Lembre-se de que dois pontos determinam uma reta. Bastam 2 pontos para construir cada segmento.

Quer que eu faça isso ou você consegue?

Muito obrigado, Giiovana. 

Não teria como eu achar esse resultado fazendo só os passos em que você aplicou os limites? hehe

O gráfico deste exercícios seria uma reta, e não o eixo x,y, correto? 

Ficaria mais ou menos assim: 


------(Aberto)2________7(Aberto)++++++   ?


Obrigado pela ajuda!

Como eu disse, esse gráfico é composto por dois segmentos de retas e um ponto. Verifique no wolfram alpha como ele fica.

Para esboçá-lo, no caso deste gráfico, você precisa dos passos I, II e V. Mas, em outros gráficos, precisa de todos os passos, certo? 

É isso. Até