Sequência Numérica

por spawnftw Qui 04 Jul 2013, 09:10

Considere a sequência dada por $a_n\; = \; 2^1^-^n.$ Calcule o número x dado por :

x = $\prod^4_i\; a_i\; +\; \prod ^6_i \; a_i$
sendo i = 1

Gabarito:

nota: ficou meio desalinhado, mas o x é igual a soma dos produtórios

por **aryleudo** Qui 04 Jul 2013, 11:30

spawnftw escreveu:Considere a sequência dada por $a_n\; = \; 2^1^-^n.$ Calcule o número x dado por :

x = $\prod^4_i\; a_i\; +\; \prod ^6_i \; a_i$
sendo i = 1

Gabarito:

nota: ficou meio desalinhado, mas o x é igual a soma dos produtórios

Encontrei isso:

$\\\prod_{i=1}^{4}2^{1-i}+\prod_{i=1}^{6}2^{1-i} = 2^{1-1}\cdot2^{1-2}\cdot2^{1-3}\cdot2^{1-4}+ 2^{1-1}\cdot2^{1-2}\cdot2^{1-3}\cdot2^{1-4}\cdot2^{1-5}\cdot2^{1-6} \\ \prod_{i=1}^{4}2^{1-i}+\prod_{i=1}^{6}2^{1-i} = 2^0\cdot2^{-1}\cdot2^{-2}\cdot2^{-3}+ 2^0\cdot2^{-1}\cdot2^{-2}\cdot2^{-3}\cdot2^{-4}\cdot2^{-5} \\ \prod_{i=1}^{4}2^{1-i}+\prod_{i=1}^{6}2^{1-i} =1\cdot2^{-1}\cdot2^{-2}\cdot2^{-3}\cdot \left ( 1+ \right 2^{-4}\cdot2^{-5}) = 2^{-6}\cdot \left ( 1+2^{-9} \right ) \\\prod_{i=1}^{4}2^{1-i}+\prod_{i=1}^{6}2^{1-i} = \frac{1}{64}\cdot \left ( 1+\frac{1}{512} \right ) = \frac{1}{64}\cdot \left ( \frac{512+1}{512} \right ) = \boxed{\frac{513}{32768}}$