Desafios F.A. 10

por Anderson_007 Ter 04 Jun 2013, 00:48

Em homenagem à marca de dez questões na série "Desafios F.A.", posto agora uma das questões mais difíceis que já vi na minha pequena vida estudantil... e uma das melhores!

$\left ( 2+1 \right )\left ( 2^{2}+1 \right )(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)...(2^{2^{98}}+1)(2^{2^{99}}+1)= 2^{a}+b$
Quais o valores de a e b?

P.S.: Quem ver a resposta no spoiler já irá saber praticamente de imediato o raciocínio, por isso, tentem primeiro fazer a questão, depois confiram a resposta!

Spoiler:

por **Giiovanna** Ter 04 Jun 2013, 11:38

Cada um dos termos é um número de Fermat. Ou seja, são números da forma
2^{2^i} + 1

Uma das "propriedades" desses números é que o número seguinte, por exemplo, F4, pode ser representado como a multiplicação dos anteriores mais 2.

Ou seja, F4 =F0. F1 . F2 . F3 + 2

Então:
$Desafios F.A. 10 Gif.download?\left&space;(&space;2+1&space;\right&space;)\left&space;(&space;2^{2}+1&space;\right&space;)(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)..$

Daí,

$Desafios F.A. 10 Gif.download?\left&space;(&space;2+1&space;\right&space;)\left&space;(&space;2^{2}+1&space;\right&space;)(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)..$

Foi assim wue você pensou? Smile

por dlemos Ter 04 Jun 2013, 20:29

talvez seja mais intuitivo multiplicar ambos os lados por (2-1)... Very Happy

por Anderson_007 Qua 05 Jun 2013, 00:09

Giiovanna, ainda não tive um contato suficientemente bom com o teorema de Fermat, mas gostei muito da sua resolução. O método que emprego é o mesmo do dlemos, mas o acho muito difícil de se imaginar, pois é preciso voltar à adição da alfabetização e lembrar que 1+1 = 2, então 2-1 = 1. Realmente, é um raciocínio intuitivo bem avançado. Mais à frente postarei outro problema cuja resolução que eu conheço também se apresenta com um raciocínio semelhante! =)

por **Giiovanna** Qua 05 Jun 2013, 08:47

Que interessante Smile

Seria pedir muito que você colocasse a resolução completa? Acho que entendi o que vocês quiseram dizer, mas gostaria de ver o raciocínio completo.

Não sei se você conhecia, mas os números de Fermat são números que possuem forma $Desafios F.A. 10 Gif$

Antes eram chamados Primos de Fermat, pois ele acreditava que essa fórmula fabricava números somente primos para qualquer i natural. Mas isso foi desmentido logo, o termo F5, por exemplo, já não é um primo, se não me engano. Isso mostra a importância da Indução finita para realizarmos provas, uma vez que testar os números não garante que se é válido para os primeiros, será paramos demais.

Mas mesmo assim esse número continua sendo bastante interessante por algumas propriedades como a que eu utilizei. Outra utilidade do número de Fermat seria verificar que todos os F_i são primos entre si, o que pode ser utilizado para provar que os números primos são infinitos.

Enfim, fica como curiosidade. Agradeço se puder postar sua resolução Smile

por Anderson_007 Sex 07 Jun 2013, 08:35

Claro que posso, com prazer! Conhecia essa fórmula e suas utilidades só de conversar com colegas mais experientes, espero ter mais tempo para estudá-la e saber usá-la tão bem quanto você soube! Pois bem, vamos à uma resolução detalhada! =)
$(2+1)(2^{2}+1)(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)...(2^{2^{99}}+1)=(2-1)(2+1)(2^{2}+1)(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)...(2^{2^{99}}+1)= (2^2-1)(2^{2}+1)(2^{2^{2}}+1)(2^{2^{3}}+1)...(2^{2^{99}}+1)= (2^{2^{2}}-1)(2^{2^{3}}+1)...(2^{2^{99}}+1)\Rightarrow Continuando,\; analogamente: (2^{2^{99}}-1)(2^{2^{99}}+1)= 2^{a}+b \Rightarrow 2^{^{2^{100}}}-1 = 2^{a}+b\Rightarrow a = 2^{100} e\; b= -1$
Gostou? =)