Geometria Plana - UFG 2000

A figura a seguir contém um quadrado e um círculo, ambos de área igual a 4cm². O ponto E indica o centro do círculo e a interseção das diagonais do quadrado. (imagem abaixo)
Observe a figura e julgue as afirmações a seguir.





( ) O círculo e o quadrado têm o mesmo perímetro.
( ) A área do polígono ACDE mede 1cm².
( ) A área das partes do círculo, externas ao quadrado, é a mesma que a das partes do quadrado, externas ao círculo.
( ) O ângulo AÊB mede 60°.

Só consegui provar que o primeiro item está errado, o restante não consegui...
Gabarito: F V V F

Olá,diolinho.



Item 2 --> verdadeiro

Note que o quadrado foi dividido em quatro partes iguais

Item 3 --> verdadeiro

V --> soma das áreas verdes

T --> soma das áreas amarelas

Vamos calcular a área A em função das áreas amarelas e verdes







Sendo conclui-se que

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.

Olá adriano tavares,

Em primeiro lugar, obrigado pela resolução.

* Com relação ao item II estava procurando uma propriedade da geometria plana que garanta que ACDE tem área 1 cm², pois inicialmente, eu também vi que o quadrado pode ser decomposto nas quatro regiões de 1 cm², mas como disse, eu estava tentando provar analiticamente tal afirmação. Usei que AB vale 1 cm, e o lado do quadrado que contém os pontos A, B e C, pode ser dividido em 4 partes iguais, ou seja BC é 0,5 cm, e consegui mostrar que a área de ACDE é 1 cm². Mas tudo isso por tentativa e erro, pois não consegui verificar a propriedade que garanta esse procedimento. Será que é possível?

* No item III ficou tudo perfeitamente esclarecido.

* No item IV descobri o cos(AEB), que é 3/5, e como o cos(60º) = 1/2, não se verifica que AEB seja 60º.

Obrigado!