Equação da reta tangente a parábola

A equação de reta que tange a parábola de equação y = x^2 - 12x + 32, no ponto (4, 0) é;
a minha duvida é a seguinte: são várias reta que passa por esse ponto , estou certo? como determinar essa equação?

y = x^2 - 12x + 32

P(4, 0)

queremos a reta tangente à parábola no ponto P( 4, 0 )

- família de retas que passam pelo ponto P( 4, 0 ):

y - 0 = m*( x - 4 ) -> y = mx - 4m

- para termos a tangente à parábola no ponto desejado devemos ter a interseção das duas equações dadas em apenas um ponto.


x² - 12x + 32 = mx - 4m

x² - 12x - mx + 32 + 4m = 0

x² - (12 + m ) x + ( 32 + 4m ) = 0

para que a interseção se dê em apenas um ponto devemos ter:

∆ = 0

∆ = ( 12 + m )² - 4*( 32 + 4m ) = 0

144 + 24m + m² - 128 - 16m = 0

m² + 8m + 16 = 0

m = ( -8 ± 0 )/2

m = - 4

Assim nossa reta tangente à parábola será:

y = -4x + 16