Rotação, Momento de Inércia

por niki reis Seg 11 Fev 2013, 14:14

Uma polia com momento de inércia de 1,0 x 10^-3 kgm² em relação a um eixo e um raio de 10 cm, é submetida a uma força aplicada tangencialmente a sua borda. O módulo da força varia com o tempo de acordo com a equação F = 0,50t + 0,30t² , com F em Newtons e t em segundos. A polia está inicialmente em repouso. Em t = 3,0s quais são (a) sua aceleração angular e (b) sua velocidade angular?

R: a) 4,2 x 10² rad/s²; b) 5,0 x 10² rad/s

por **aryleudo** Seg 11 Fev 2013, 15:10

Uma polia com momento de inércia de 1,0 x 10^-3 kgm² em relação a um eixo e um raio de 10 cm, é submetida a uma força aplicada tangencialmente a sua borda. O módulo da força varia com o tempo de acordo com a equação F = 0,50t + 0,30t² , com F em Newtons e t em segundos. A polia está inicialmente em repouso. Em t = 3,0s quais são

R: a) 4,2 x 10² rad/s²; b) 5,0 x 10² rad/s

DADOS
I = 10^-3 kgm² (momento de inércia)
r = 10 cm = 10^-1 m (raio da polia)
F = 0,50t + 0,30t² (força aplicada)
v₀ = 0 (velocidade inicial)
t = 3 s (instante de estudo)

SOLUÇÃO
Encontrando a massa da polia (m):
I = mr² = 10^-3
m.(10^-1)² = 10^-3
m = 10^-3/10^-2
m = 10^-1 kg

Encontrando a função aceleração [a(t)]:
F(t) = ma(t) = 0,50t + 0,30t²
10^-1a(t) = 0,50t + 0,30t²
a(t) = 5t + 3t²

(A) sua aceleração angular e

$Rotação, Momento de Inércia %5CLARGE%5C%21%5Calpha%28t%29%20%3D%20%5Cfrac%7Ba%28t%29%7D%7Br%7D%20%5CRightarrow%20%5Calpha%28t%29%20%3D%20%5Cfrac%7B5t%20%2B%203t%5E2%7D%7B10%5E%7B-1%7D%7D%20%5CRightarrow%20%5Calpha%28t%29%20%3D%2050t%20%2B%2030t%5E2%20$

Rotação, Momento de Inércia S%7D%5E2

(B) sua velocidade angular?

$Rotação, Momento de Inércia %5CLARGE%5C%21a%28t%29%20%3D%20%5Cfrac%7Bdv%7D%7Bdt%7D%20%3D%205t%20%2B%203t%5E2%20%5CRightarrow%20dv%20%3D%20%285t%20%2B%203t%5E2%29dt%20%5C%5C%20%5Cint_%7Bv_%7B0%7D%7D%5E%7Bv%7D%20dv%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7D%20%285t%20%2B%203t%5E2%29dt%20%5CRightarrow%20v%20-%20v_0%20%3D%20%5Cfrac%7B5t%5E2%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B3t%5E3%7D%7B3%7D%20%5C%20$

Como v0 = 0 temos:
$Rotação, Momento de Inércia %5CLARGE%5C%21v%28t%29%20%3D%20%5Cfrac%7B5t%5E2%7D%7B2%7D%20%2B%20t%5E3$

$Rotação, Momento de Inércia %5CLARGE%5C%21%5Comega%28t%29%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bv%28t%29%7D%7Br%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B50t%5E2%7D%7B2%7D%20%2B%2010t%5E3%20%5CRightarrow%20%5Comega%28t%29%20%3D%2025t%5E2%20%2B%2010t%5E3$

Rotação, Momento de Inércia S%7D

por **aryleudo** Seg 11 Fev 2013, 15:15

A letra (B) não bateu a resposta... Verifique aí se houve erro meu ou do gabarito que você informou e nos dê um retorno!!!

por Convidado Seg 11 Fev 2013, 15:55

Peço permissão para acrescentar outro caminho:

$\\\tau =I\alpha\;\;\to\;\;\frac{F.R}{I}=\alpha\\\\\alpha(t)=\frac{F(t).R}{I}\;\;\to\;\;\alpha(t)=\frac{10^-1(0,5t+0,3t^2)}{10^-3}\\\\\boxed{\alpha (t)=50t+30t^2}\;\;\;\to\;\;\;\alpha(3)=4,2.10^2\;rad/s^2$

$\\\alpha=\frac{dw}{dt}\;\;\to\;\;\alpha dt=d\omega\\\\\int_{0}^{3}(50t+30t^2)dt=\int_{\omega_0}^{\omega}d\omega\;\;\;\to\;\;\;\omega=495\;rad/s\;\;\;\to\;\;\;4,95.10^{{\color{Red} -2}}$

O número que achei é o mesmo do mestre aryleudo. Acho que o expoente da letra b) deve ser negativo pois $4,95 \sim 5,0$

por **aryleudo** Seg 11 Fev 2013, 17:00

Valeu Caio Mucio é sempre bom termos mais de um caminho para se resolver um problema!!!

Com relação ao expoente é positivo mesmo!

Note que:

0,0495 = 4,95x10^-2 ----{Verifique dividindo 4,95 por 100}
495 = 4,95x10² --------{Verifique multiplicando 4,95 por 100}

por Gilvan Soares da Silva Ter 15 Nov 2016, 21:33

Um caminho mais adequado para a letra b) seria velocidade angular igual a velocidade angular inicial mais a aceleração angular vezes o tempo, ou seja,
w = w0 + a*t
= 0 + 420*3
= 1260 rad/s

por Isabella O.E. Ter 27 Out 2020, 21:03

Poderiam me explicar, por favor, por que não poderia substituir o valor de alfa encontrado na letra a, direto na fórmula que relaciona essa aceleração com a velocidade angular e o tempo?