Prove que não existe

por Dinheirow Seg 11 Fev 2013, 13:28

Prove que não existe x ∈ ℝ tal que
$(\sqrt[]{3} + \sqrt[]{2})^{x} + (\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2})^{x} = (\sqrt[]{5})^{x}$

por qwe qwe qwe Seg 11 Fev 2013, 16:12

Elevando ao quadrado a expressão, vamos ter:

$(3+2+2\sqrt6)^x+(3+2-2\sqrt6)^x+2=5^x\\\\ (5+2\sqrt6)^x+(5-2\sqrt6)^x=5^x\\\\ 5^x+5^x^-^1(2\sqrt6)^1+5^x^-^2(2\sqrt6)^2+...+(2\sqrt6)^x+5^x-5^x^-^1(2\sqrt6)^1+5^x^-^2(2\sqrt6)^2-...+(-2\sqrt6)^x+2=5^x\\\\ i)x=2k+1\\\\ 5^x+5^x^-^1(2\sqrt6)^1+5^x^-^2(2\sqrt6)^2+...+(2\sqrt6)^x+5^x-5^x^-^1(2\sqrt6)^1+5^x^-^2(2\sqrt6)^2-...-(2\sqrt6)^x+2=5^x\\\\$
$5^x+5^x^-^2(2\sqrt6)^2+5^x^-^4(2\sqrt6)^4+...+5^2(2\sqrt6)^x^-^2+5^x+5^x^-^2(-2\sqrt6)^2+...+5^2(-2\sqrt6)^x^-^2+2=5^x\\\\ 5^x^-^2(2\sqrt6)^2+5^x^-^4(2\sqrt6)^4+...+5^2(2\sqrt6)^x^-^2+5^x+5^x^-^2(-2\sqrt6)^2+...+5^2(-2\sqrt6)^x^-^2+2=0$

$ii)x=2k\\\\5^x+5^x^-^2(2\sqrt6)^2+5^x^-^4(2\sqrt6)^4+...+5^2(2\sqrt6)^x^-^2+(2\sqrt6)^x+5^x+5^x^-^2(-2\sqrt6)^2+...+5^2(-2\sqrt6)^x^-^2+(2\sqrt6)^x+2=5^x\\\\ 5^x^-^2(2\sqrt6)^2+5^x^-^4(2\sqrt6)^4+...+5^2(2\sqrt6)^x^-^2+(2\sqrt6)^x+5^x+5^x^-^2(-2\sqrt6)^2+...+5^2(-2\sqrt6)^x^-^2+(-2\sqrt6)^x+2=0$

Absurdo, pois todos os termos são maiores que zero.

Obrigado por ver meu erro, Elcioschin! Espero que agora esteja certo...

por **Elcioschin** Seg 11 Fev 2013, 18:33

qwe qwe qwe

Houve um erro no cálculo da 2ª parcela do 1º membro:

[(\/3 + \/2)^2]^x + 2*[(\/3 + \/2)^x]*[(\/3 - \/2)]^x + [(\/3 - \/2)^2]^x = 5^x

[(\/3 + \/2)^2]^x + 2*[(\/3 + \/2)*(\/3 - \/2)]^x + [(\/3 - \/2)^2]^x = 5^x

[(\/3 + \/2)^2]^x + 2*(3 - 2)^x + [(\/3 - \/2)^2]^x = 5^x

[(\/3 + \/2)^2]^x + 2 + [(\/3 - \/2)^2]^x = 5^x

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