Conhecendo as Integrais (1)
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Conhecendo as Integrais (1)
por Euclides Sáb 09 Fev 2013, 17:35
Uma introdução ao Cálculo Integral
o universo relativo ao cálculo integral é bastante extenso e estas noções abrangerão apenas alguns desses elementos. A integração, no seu princípio, envolvia problemas de cálculo de áreas, porém o seu desenvolvimento nos permite lidar com comprimentos de curvas, áreas e volumes que não seriam facilmente calculados de outra forma, além de ter uma estreita ligação com os conceitos de derivadas e limites, que já vimos anteriormente.
O Cálculo integral tomou forma definida a partir de Newton e Leibnitz que o desenvolveram independentemente. O trabalho de Leibnitz, entretanto, foi o que deu forma definitiva ao cálculo integral da maneira como usamos hoje, sendo sua a notação que utilizamos.
1. O significado de uma integral
considere a curva representada abaixo
suponha que desejamos calcular a área compreendida sob a cuva, acima do eixo horizontal e delimitada pelo intervalo [a, b]. O primeiro método que nos vem à mente é fragmentar aquela área em figuras geométricas regulares cujas áreas sabemos calcular.
Podemos particionar o intervalo criando retângulos de base
e cuja altura seja  "\dpi{120} f(c)")
, em que c é o ponto médio de .
A soma das áreas desses retângulos nos dará uma aproximação da área desejada. Teremos obtido
 "\dpi{120} S=\sum_{i=1}^{n}\Delta x_i.f(c_i)")
está claro que, se desejarmos melhorar a precisão da nossa medida, podemos diminuir o tamanho de.
Ôpa! vamos diminuindo até que se torne muito pequeno, muito próximo de zero e isso tem novamente a cara de um limite...
De fato o limite abaixo nos fornecerá com precisão a medida que desejamos:
 \right ) "\lim_{\Delta x\to 0}\left (\sum_{i=1}^{n}\Delta x_i.f(c_i) \right )")
agora é só uma questão de definirmos uma notação e um nome para isso:
 \right )=\int_a^b f(x).dx} "\boxed{\lim_{\Delta x\to 0}\left (\sum_{i=1}^{n}\Delta x_i.f(c_i) \right )=\int_a^b f(x).dx}")
o conceito de limite nos levou a descobrir as derivadas e as integrais!! Poderosa ferramenta. Essa ideia bem sintética nos conduz a um primeiro entendimento do que é uma integral. Há muito mais e veremos um pouco a cada passo.
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PS: dúvidas sobre o assunto devem ser postadas como questões na seção Iniciação ao Cálculo.
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o universo relativo ao cálculo integral é bastante extenso e estas noções abrangerão apenas alguns desses elementos. A integração, no seu princípio, envolvia problemas de cálculo de áreas, porém o seu desenvolvimento nos permite lidar com comprimentos de curvas, áreas e volumes que não seriam facilmente calculados de outra forma, além de ter uma estreita ligação com os conceitos de derivadas e limites, que já vimos anteriormente.
O Cálculo integral tomou forma definida a partir de Newton e Leibnitz que o desenvolveram independentemente. O trabalho de Leibnitz, entretanto, foi o que deu forma definitiva ao cálculo integral da maneira como usamos hoje, sendo sua a notação que utilizamos.
1. O significado de uma integral
considere a curva representada abaixo
suponha que desejamos calcular a área compreendida sob a cuva, acima do eixo horizontal e delimitada pelo intervalo [a, b]. O primeiro método que nos vem à mente é fragmentar aquela área em figuras geométricas regulares cujas áreas sabemos calcular.
Podemos particionar o intervalo criando retângulos de base
A soma das áreas desses retângulos nos dará uma aproximação da área desejada. Teremos obtido
está claro que, se desejarmos melhorar a precisão da nossa medida, podemos diminuir o tamanho de
Ôpa! vamos diminuindo
De fato o limite abaixo nos fornecerá com precisão a medida que desejamos:
agora é só uma questão de definirmos uma notação e um nome para isso:
o conceito de limite nos levou a descobrir as derivadas e as integrais!! Poderosa ferramenta. Essa ideia bem sintética nos conduz a um primeiro entendimento do que é uma integral. Há muito mais e veremos um pouco a cada passo.
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PS: dúvidas sobre o assunto devem ser postadas como questões na seção Iniciação ao Cálculo.
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
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