Analise combinatória

Uma lanchonete serve suco de frutas, em copos padronizados para viagem, nos sabores uva, laranja e morango. O número de formas possíveis de adquirir-se cinco copos de suco é:

a) 19
b) 21
c) 23
d) 25

Gabarito: Letra B
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Primeiro pensei da seguinte forma: Queremos 5 copos de qualquer sabor, então seria 3x3x3x3x3 = 243
Mas como não tinha essa resposta, fui fazendo um por um:

5U 5M 5L UUULM
4U,2M 4M,1L 4L,1M UULLM
3U,3M 3M,2L 3L,2M ULLLM
2U,4M 2M,3L 2L,3M UUMML
1U,5M 1M,4L 1L,4M UMMML
UMMLL

Aí que tá, deu 21, mas poderia ter esquecido algum e errado. Como posso fazer algebricamente? E porque a forma que pensei primeiro está errada?

Fazendo 3x3x3x3x3, você está considerando escolhas repetidas:

Ex.:
LLUMM
ULLMM


5UVAS => 1 caso
4UVAS => 2 casos(L ou M)
3UVAS => 3 casos (LL, MM, LM)
2UVAS => 4 casos (LLL, MMM, LLM, MML)
1UVA => 5 (LLLL, MMMM, LLLM, MMML, MMLL)
0UVA => 6 (LLLLLL, MMMMMM, LLLLLM, MMMMML, LLLLMM, MMMMLL, LLLMMM)

6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

Olá:

O Problema também pode ser resolvido através de Combinações com Repetição:
CR(3,5)=C(3+5-1;5)=C(7;5)=21 (ou C(7;2), que é igual).

A fórmula das Comb. c/ Repetição é:
Sendo n o número de tipos diferentes de objetos ( no nosso exemplo é 3) e k o nº de elementos do conjunto (no nosso caso é 5),
CR(n;k)=C(n+k-1;k).
Um abraço.

Você pode ver esse exercício como um sistema linear também:



Link Externo:

https://2img.net/r/ihimizer/img803/7483/76374994.png

u=uva

L=laranja

m=morango

u+L+m = 5

n=3

k=5

Obs: É a mesma coisa que o parofi fez

Entendi, obrigado a todos que ajudaram!

Como chegou a esse resultado??

Vamos pensar como uma equação u ->uva, l -> laranja e m -> morango. Devemos ter  u+l+m=5.
Vamos agora pensar nessa equação de outra forma, por exemplo I+II+II=5, que significa que compramos um suco de uva, dois de laranja e dois de morango, ou por exemplo +II+III=5, e nesse caso não compramos uva, compramos dois de laranja e três de morango.
Agora a questão se resume a permutar os símbolos I e +.
Resposta: P^{2,5}_7=\dfrac{7!}{2!\cdot5!}=21.