Função polinomial de grau 3

O gráfico a seguir se refere a uma função polinomial y = P(x) de grau 3.



Considerando as informações apresentadas, pode-se concluir que, para x ≠ 1 e x ≠ –2, o resto da divisão de P(x) por (x – 1)(x + 2) é:


(A)–2x + 3
(B)–x+ 1
(C)– 3x + 1
(D) 2–x
(E) –x–1


Estou meio preso nesse exercicio, hehe. Alguém me ajuda? Antes de mais nada, obrigado

Considere P (x) = ax³ + bx² + cx + d
(x – 1)(x + 2) = x² + 2x - x - 2 = x² + x - 2

Vamos fazer essa divisão:
ax³ + bx² + cx + d / x² + x - 2

Não dá tanto trabalho quanto parece, o quociente Q(x) = ax + (b-a), e o resto R(x) = (3a - b + c) x + (-2a + 2b + d), que é o que nos interessa.

a função y = P(x) = ax³+ bx² + cx + d passa pelos pontos (-2, 3) e (1,0), se substituirmos esses valores em x e y, teremos:
para o ponto (-2, 3):
3 = a . (-2)³+ b . (-2)² + c . (-2) + d = -8a + 4b -2c +d
(1,0) : 0 = a + b + c + d

Bom, temos duas equações para um sistema de 4 variáveis, nem tente resolver, hehe. O esquema é o seguinte, no meu polinômio resto da divisão R(x), tenho (3a - b + c) -> perceba que o d sumiu. Vamos tentar fazer o d sumir no sistema acima também:

3 = -8a + 4b -2c +d
0 = a + b + c + d
Multiplicando a de cima por (-1):
-3 = 8a - 4b + 2c - d
0 = a + b + c + d
Somando-as:
9a - 3b + 3c = -3
3a - b + c = -1 -> achamos o valor do termo que acompanha x em R(x), vamos achar o termo independente

(-2a + 2b + d) -> aqui o c sumiu

3 = -8a + 4b -2c +d
0 = a + b + c + d
Multiplicando a de baixo por 2
3 = -8a + 4b -2c +d
0 = 2a + 2b + 2c + 2d
Somando-as:
3 = -6a + 6b + 3d
1 = -2a + 2b + d -> que é o termo independente em R (x)

Portanto R(x) = -x + 1 (B)

Observações: os sistemas podem ser resolvidos como quiser, desde que desapareça com o d no primeiro e o c no segundo
faça a divisão do polinômio, não vai demorar ,mas fique atento para não confundir nada.

Espero ter ajudado . Um abraço e fique com Deus.

Jesus cara, pra que tudo isso?
P(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x) + R(x)
P(1) = R(1) = 0 => a + b = 0 (I)
P(-2) = R(-2) = 3 => -2a + b = 3 (II)

(II)-(I): -3a = 3 => a = -1
Subst. a em (I): b = 1

R(x) = -x + 1

aprentice, nem sempre conseguimos enxergar soluções fáceis. Você chegou nessa solução porque de alguma forma já havia entrado em contato com ela ou com algo parecido a ela. Como nosso cérebro é programado para descobrir padrões, sua percepção foi imediata. Acredito que o valor na resolução do Glauber é maior, pois ele usou ferramentas mais primordiais.

Não menosprezemos a resolução dos outros!!! Ele teve trabalho e merece nossos parabéns.

Parabéns, Glauber.

Obrigado camarada.

É que fiquei bastante espantado com o tamanho da resolução dele. ' - '
É sussa, só não recomendaria fazer em um vestibular... : P

Muito Obrigado Glauber
Me enrolei um pouco pra conseguir fazer a divisão, hehe. Mas acho que com tempo eu pego um pouco de prática nesse tipo de questão! valeu cara, até mais, fique com Deus!!

aprentice escreveu:Jesus cara, pra que tudo isso?
P(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x) + R(x)
P(1) = R(1) = 0 => a + b = 0 (I)
P(-2) = R(-2) = 3 => -2a + b = 3 (II)

(II)-(I): -3a = 3 => a = -1
Subst. a em (I): b = 1

R(x) = -x + 1

Apretice, onde vc substituiu 1 e -2 para obter as equaçoes (I) E (II)?

P(x) = (x - 1).(x + 2).Q(x) + R(x) ----> R(x) é um polinômio no máximo de 1º grau ---> R(x) = ax + b 

P(x) = (x - 1).(x + 2).Q(x) + (ax + b)

Para x = 1 ---> P(1) = 0.(0 + 2).Q(0) + a.1 + b ---> P1 = 0 (pelo gráfico) ---> a + b = 0 ---> 1ª equação

Para x = -2 ---> P(-2) = (-2 - 1).(-2 + 2).Q(-2) + a.(-2) + b --> P(-2) = 3 (pelo gráfico) --> - 2a + b = 3 --> 2ª equação

...a + b = 0 ----> I
-2a + b = 3 ----> II

I - II ----> 3a = -3 ----> a = - 1 ----> b = 1