Unifesp 2009 - Polinômio

Considere o polinômio p(x) = x³ + ax² + bx + c, sabendo que a, b e c são números reais e que o número 1 e o número complexo 1 + 2i são raízes de p, isto é, que p(1) = p(1 + 2i) = 0. Nestas condições existe um polinômio q(x) para o qual p(x) = (1–x).q(x). Uma possível configuração para o gráfico de y = q(x) é:






Resp: e)

Como resolver sem fatoração ? Tentei usar as relações de Girard mas não deu certo :\

I - Sendo o polinômio do 3º grau e p(1) = p(1 + 2i) = 0, então suas raízes serão r1=1, r2 = 1+2i, r3=1-2i.
II - Logo, P(x)=(x-1)(x – 1 – 2i)(x – 1 + 2i)

De I concluímos que se uma das raízes é real e a outra complexa e sendo o polinômio de 3º a terceira raiz será complexa(conjugada da primera). Portanto, as raízes complexas serão do quociente q(x) de grau dois, com isso ficaríamos entre b e e

Como P(x)=(x-1)q(x) -> P(x)=(x-1)(x – 1 – 2i)(x – 1 + 2i)
q(x)=(x – 1 – 2i)(x – 1 + 2i) -> q(x) = – x² + 2x – 5, como q(x) tem o coeficiente a negativo, então seu gráfico terá concavidade para baixo, logo só resta a letra e.

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