ITA 1998

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Seja a um número real tal que o polinômio p(x) = x^6+2x^5+ax^4–ax^2–2x–1 admite apenas raízes reais. Então a pertence:
a) [2, infinito[; b) [–1, 1]; c) ] -infinito, –7]; d) [–2, –1[; e) ] 1, 2 [

Esta questão eu j-a-m-a-i-s conseguiria resolver sem a ajuda de resoluções que eu encontrei na internet...fico imaginando o coitado do vestibulando do ITA tendo que responder esta questão no limitado espaço de tempo disponível!

Bem, as soluções que encontrei, esbarram numa passagem que para mim não ficou clara e então passo a colocar a resolução, como a entendi e solicito esclarecimento sobre determinadas passagens:

(i) Nota-se que se trata de um polinômio cuja equação é recíproca da 2ª espécie e de grau par, portanto -1 e 1 são raízes.

(ii) [x^6+2x^5+ax^4–ax^2–2x–1] : [x-1] = x^5+3x^4+(3+a)x^3+(3+a)x^2+3x+1
[x^5+3x^4+(3+a)x^3+(3+a)x^2+3x+1] : [x+1] = x^4+2x^3+(1+a)x^2+2x+1

(iii) x^4+2x^3+(1+a)x^2+2x+1 = 0
Dividindo por x^2, ordenando e colocando o coeficiente do termo de grau 1 em evidência, fica

[x^2+(1/x^2)]+2[x+(1/x)]+(1+a) = 0

(iv) [x+(1/x)] = t => [x+(1/x)]^2 = t^2 => [x^2+(1/x^2)] = t^2-2

(v) então reescrevemos q(x) = t^2+2t–1+a = 0, cujas raízes são
S = {–1–V2-a, –1+V2-a} e, para que sejam reais, é necessário que 2-a >= 0 ou a =< 2


ESTE SÃO OS PASSOS QUE EU NÃO CONSIGO ACOMPANHAR:

(vi) lembrando que [x+(1/x)] =< – 2 ou [x+(1/x)] >= 2, para qualquer x pertencente aos números reais sem o zero.

(vii) logo S pertence a ] –infinito, – 2]U [2, + infinito[ (A)

(viii) então q(– 2) =< 0 => a =< 1
q(2) =< 0 => a =< -7 (B)

(ix) de A e B temos ] –infinito, –7] alternativa c

Basicamente o que escapa à minha compreensão é a afirmativa do passo (vi) acima...

tem alguém aí que possa me dar uma luzinha?

Sds

Schulz

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tambem nao entendi o porque do -7 schulz, mas postei até onde consegui chegar no problema pra ver se ajuda...

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dlemos

As manipulações (iii), (iv) e (v) transformaram o polinômio quociente resultado das duas divisões, no polinômio equivalente, que é a equação q(x) = t^2+2t–1+a = 0. Para achar o valor de a em -2 e em 2 fizemos q(-2) e q(2), o que é perfeitamente entendível.

A parte que eu não entendo é a origem deste procedimento:

(vi) lembrando que [x+(1/x)] =< – 2 ou [x+(1/x)] >= 2

onde x+(1/x) é uma função hiperbólica mas e daí?

Abraços

Schulz

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Questão movida para -> Ensino Médio -> Álgebra

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José Carlos

V. deu alguma resposta?
Vou para ->Ensino Médio -> Álgebra e não encontro nada...

Abs

Schulz

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Simples:
t = x + 1/x => tx = x² + 1 => x² - tx + 1 = 0
x = (t +- sqrt(t² - 4))/2
Como x é real:
t² - 4 >= 0 => t² >= 4 => t >= 2 V t <= -2
Mas x + 1/x = t.

Olá Schulz,

Eu apenas movi a questão.


Um abraço.

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José Carlos
Aprentice

Muito obrigado...pelo ovo de Colombo!

Sds

Schulz

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Questão 4 dessa lista:

http://www.tutorbrasil.com.br/polinomios/exercicios.html