Progressões

Eu nunca faço cálculo de progressões com aquelas equações abomináveis, para PA de 1ª ordem uso a função f(n)=an+b; para a de 2ª, uso a função f(n)=an²+bn+c; para PG, f(n)=aⁿ·b...

Nesse contexto, como eu poderia manipular essas funções e fazer o somatório e o produtório dos termos?

Essas são funções que não podem ser integradas pois forneceriam um valor maior.

O mais razoável é usar as equações que já se dispõem para isso e que a meu ver nada têm de "abomináveis".

Para mim são abomináveis por n razões...

1) vc tem q decorar fórmulas a mais...
2) vc não pode aplicar integração e derivação em sequências...
3) uma sequência definida como uma função (nos naturais) é bem mais intuitiva para mim, além de que a aplicação de integrais e derivadas é comum e intuitiva... enfim...

Mas o somatório e o produtório não precisaria ser necessariamente por meio de integral definida, realmente não existe nenhuma outra alternativa para isso? Grato!

decorar, bom, concordo que isso é abominável e também tento fugir ao máximo desse mal

mas, pra tudo existe o "saber demonstrar", que na minha opinião é o mais nobre aprendizado da matemática no ensino médio, tanto quanto deve ser no ensino superior... sabendo demonstrar eu consigo manter uma maior distância do decoreba

mas, confesso que em coisas mais complexas eu faço o uso da memória bruta mesmo, como por exemplo na equação da parábola de segurança... haja tempo pra demonstrar aquilo na hora da prova! hahahah

É bom você saber demonstrar, mas as vezes em uma prova você não tem tempo nem espaço para tal feito.
A demonstração rigorosa realmente é o que eu acho mais belo na matemática.
No ensino superior, algumas demonstrações levariam muito tempo, então é bom você se acostumar a gravar algumas coisas ( mas sempre sabendo de onde elas saem).

Se a ideia era me convencer a usar as fórmulas tradicionais... não me convenceram! Prefiro ver uma PA como f(n)=an+b e uma PG como f(n)=aⁿ·b, assim como prefiro chamar a razão duma PG de razão e a "razão" duma PA de diferença.

Pois deveras eu vos digo... descobri como determinar a soma dos termos duma função polinomial e do tipo "polinomial geometrica"...

Dada uma função (sequência) do tipo...



Para determinar a soma entre termos consecutivos basta usar a seguinte tabela:









Traduzindo... para cada parcela do polinomio (da sequência) existe uma outra função polinomial específica que dá soma do seus termos consecutivos, que são as implicações acima...

Portanto, juntando (somando) tudo isso... para a sequência descrita como


A soma do seus termos consecutivos é:


Bem, é fácil perceber que eu determinei o somatório até n³... é que depois disso o cálculo começa ficar meio sinistro.

E para o produto duma função análoga á polinomial, isto é:



Basta usar as seguintes implicações:









Ou seja... fórmulas totalmente análogas!

Por fim, outra vantagem de se usar funções em vez de sequências para certos casos é que podemos usar o cálculo diferencial integral como outra ferramenta. Em progressões falamos muito em diferença e em razão entre termos consecutivos, eu descobri, ñ sei se isto já fora descoberto, que isso é praticamente o cálculo... a razão ou a diferença entre termos consecutivos é a derivada da função avaliada na média (em x) desses termos, vejam:



Toda a fonte dessas informações é a minha pessoa.

O que acham?

Isso ñ é relevante pra vcs?

Jhenrique, o que você mostrou sobre progressões aritméticas eu conhecia através de um lema que diz: "o termo geral de uma PA de ordem k é um polinômio de grau k, enquanto a soma dos termos de uma PA de ordem k é um polinômio de grau k+1".

Não cheguei a estudar progressões geométricas de ordem superior, mas achei bem interessante como você as abordou. Por que não escreve um tópico na área "explicações especiais, macetes e dicas"?