Equação de 5° grau

Olá,alguém poderia me explicar como prossegue na continuação desse exercício?
(UFES) Considere o polinômio P(z) = z^5 + (a – 1)z ^4 + (2 – a)z³ - 4z² + (b +2)z – b, sendo a e b números reais) Verifique se 1 é raiz de P(z).
1.Q(z) tem uma raiz simples,multiplicidade 1, e a soma e o produto das outras raízes são respectivamente (-2+i) e (2-2i), considerando-se suas multiplicidades,sendo i a unidade imaginária,determine os valores de "a" e "b" e as raízes de P(z).

Paro nessa parte, que deveria ser a mais simples,peço a ajuda de vocês, porque tenho quase certeza que devo estar esquecendo de coisas que deveriam ser inesquecíveis.

Obrigado pessoal ^^

Os números sagrados que completam esse enigma são...(-1-i),(-1+i),1(multiplicidade 2) e -2.Essas são as respostas.

Você misturou o enunciado com pensamentos seus.
Por favor, não faça isto: poste apenas o enunciado, senão você pode introduzir erros:

Por exemplo, inicialmente você fala em raiz de multiplicidade 1 de Q(x). Depois você fala em raiz de multiplicidade 2.

Se houver 2 raízes iguais (m) e uma complexa (r + si) haverá também a raiz conjugada (r - si). Neste caso a soma será 2m + 2r (real) e não poderá haver termo imaginário na soma (-2 + i)

O mesmo acontece se houverem duas raízes complexas diferentes: r + si, r - si, t + ui, t - ui ----> A soma será 2r + 2t (não tem termo imaginário

Por favor reescreva SOMENTE o enunciado completo

Q(z) = z^4+a.z³+2.z²-2.z+b

Obs: x,y,z e w são as raizes

x + y + z = -2 + i
xyz = 2 - 2i

Pelas relações de Girard:
xy + xw + xz + yw + yz + wz = 2
xyw + xyz + xwz + ywz = 2

w(x + y + z) + xy + xz + yz = 2 => xy + xz + yz = 2 + w(2 - i)
w(xy + xz + yz) + xyz = 2 => w(2 + w(2 - i)) + 2 - 2i = 2

w²(2 - i) + 2w - 2i = 0

d = 4 -4(-2i)(2 - i) = 12 + 16i
Segue: d = 20*(3 + 4i)/5
sqrt(d) = 2sqrt(5)*cis(o/2)

cos(o) = 1 - 2sen²(o/2) => 1 - 2sen²(o/2) = 3/5 => 2sen²(o/2) = 2/5 => sen(o/2) = sqrt(5)/5
cos(o) = 2cos²(o/2) - 1 => 3/5 = 2cos²(o/2) - 1 => 2cos²(o/2) = 8/5 => cos(o/2) = 2sqrt(5)/5
Segue:
sqrt(d) = 2sqrt(5)(2sqrt(5) + sqrt(5)i)/5 = 4 + 2i
Donde:
w = (-2 + (4 + 2i))/2*(2 - i) => w = 1/5 + 3i/5 (não convém, a soma das 4 raizes deve ser real)
ou
w = (-2 - (4 + 2i))/2*(2 - i) => w = -1 - i (convém)

Novamente pelas relações de Girard:
x + y + z + w = -a => -a = -2 + i - 1 - i => a = 3
xyzw = b => b = 2(1 - i)(-1 - i) => b = -4

Solução "segura" por algebra, bem deselegante.

x + y + z = -2 + i
xyz = 2 - 2i

Sem perda de generalidade assuma que y é conjugado de x, donde:
2Re(x) + z = -2 + i => z = (-2 -2Re(x)) + i => Im(z) = 1
|x|²*z = (2 - 2i) => z = 2/|x|² (-2)i/|x|²

Donde: -2/|x|² = 1 => -2 = |x|²
Mas |x|² > 0, donde segue que a situação acima é um absurdo.A equação só tem 2 raizes complexas.

Voltando as equações iniciais:
x + y + z = -2 + i
xyz = 2 - 2i

Sabemos, então, que de fato Im(z) = 1.
Donde:

z = (2 -2i)/xy

-2/xy = 1 => xy = -2 => z = -1 + i
Então: w = -1 - i

Joga de novo nas relações de Girard e acha a e b.

Solução por análise, bem mais elegante se você conseguir enchergar (nem sempre é o caso, então segue a outra também).