IME - 2013

Relembrando a primeira mensagem :

Boa sorte a nós hoje!!! : DD
Quimica, como sempre, vai matar... : |

Coloquei minha solução para a questão 2 no tópico do aprentice.

Aproveitando... na de complexos, argumento "Pi" significa que a parte imaginária vale zero e que a parte real é negativa. Como o módulo do complexo é 1, basta pegar o complexo todo e fazer z = -1.

Aí tú cai numa igualdade de complexos e fim de papo.

EDIT: O João postou primeiro.

Não dormi nada hoje, então vou tirar o atraso. Boa noite, gente!

Rumo ao IME!

Fui rever a questão da P.A e P.G, tinha ignorado o trecho: "os números 3 e 192 participam das progressões".
Tá de brincadeira... : |

z = a/[ib(1 + ib)²]

É dado que |z| = 1 e arg (z) = - pi, logo z pode ser escrito na forma polar:

z = |z| cis (-pi) --> z = -1

Substituindo em cima, fica:

a = -ib(1 + ib)²--> a = -ib(1 + 2ib - b²) --> a = -ib + 2b² + ib³ -->

(a - 2b²) + i(b - b²) = 0

Logo:

a = 2b²
b - b² = 0 --> b = 1

Como a = 2b², a = 2 * 1 ² --> a = 2

aprentice escreveu:Nat, sai por mdc.Como são duas raizes em comum, segue que o mdc entre os dois polinomios é de 2 grau.Dai:

(x³ + ax² + 18) = (x³ + bx + 12) + (ax² - bx + 6)
(x³ + bx + 12) = (ax² -bx + 6)(x/a) + ((b/a)x² + (ab - 6)x/a + 12)
Donde:
k(ax² - bx + 6) = (b/a)x² + (ab-6)x/a + 12
6k = 12 => k = 2
Então:
2a = b/a => 2a² = b
(ab-6)/a = -2b => ab - 6 = -2ab => -3ab = -6 => ab = 2 => b = 2/a
Substituindo:
2a² = 2/a => a³ = 1 => a = 1 => b = 2
Segue: 2a = b

aprentice, eu montei um sistema igual ao do João, mas na hora de resolvê-lo me perdi, e comecei a me confundir nas minhas próprias contas que ficaram todas emboladas.

Gostei da sua resolução de mdc, não sabia dessa maneira de resolver!

Essa é do Caio, só reproduzi... A questão tá identica.

Ah que legal!
É tão legal quando caem questões identicas aas que a gente já fez, né?

Espero os aprovados aqui no IME ano que vem

Quem dera, Lucas!
Quem sabe em 2014 a gente topa! kkk
E é bom demais sim, mas se bem que nesse caso é mais interessante quando é uma mais dificilzinha ... kkkk
Ahhh... e lucas, os fiscais daqui tinham sotaque de carioca.São do IME?

aprentice escreveu: E é bom demais sim, mas se bem que nesse caso é mais interessante quando é uma mais dificilzinha ... kkkk

É verdade!
Eu fui rever a questão 1, e agora que percebi que o enunciado diz que os polinômios tem duas raízes em comum. Eu estava considerando somente uma raíz em comum, não ia conseguir achar a resposta nunca! Aff ¬¬, ler o enunciado errado é fogo! E o pior é que eu gastei um tempão nessa questão! Kkk'

aprentice escreveu:Ahhh... e lucas, os fiscais daqui tinham sotaque de carioca.São do IME?

Na minha sala o fiscal falou que tinha bastante gente na sala que tinha feito a prova o ano passado. Aí ele mandou levantar a mão quem estava fazendo a prova pela primeria vez, e realmente, a minoria levantou a mão! Cara, como ele conseguiu guardar nossos rostos?

Eu adoro esses tópicos rsrsrs

Uma sugestão, que tal um mutirão para resolver a prova?

Boa sorte aos que fizeram a mesma.