Vetores

Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases, e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.

Alguma luz???? Grato desde já. ; )

Sejam, no trapézio:

AB = base menor
CD = base maior
MN = base média
AM = DM = x
BN = CN = y

Trace a diagonal BD e seja P o ponto de encontro de BD e MN.
MP e NP são bases médias dos triângulos ABD e BCD:

MP = AB/2
NP = CD/2

MN + NP = AB/2 + CD/2 ---> MN = (AB + CD)/2

Professor, obrigado pela solução. Você conhece alguma solução usando vetores?

Não conheço

Por vetor também não conheço.

Uma outra forma:

- no plano coordenado marque os pontos:

A( 0,0 ) ; B( xB, 0 ) ; C( xC , yC ) e D( 0, yD )

- ponto médio de BC:

.....xB + xC......yC
M( -------- , ----- )
.........2............2

- ponto médio de AD:

........yD
N( 0, ---- )
.........2

- reta que passa por AB:

y = 0 -> m1 = 0

- reta que passa por CD:

y = yD -> m2 = 0

- reta que passa´por M e N:

2y - yD
--------
.....2.................2x
---------- = ---------- ->
yC - yD..........xB + xC
---------
......2


2y - yD .........2............. 2x
--------- * --------- = ----------
....2............yC - yD.......xB + xC


desenvolvendo, ficamos com:

.......2*( yC - yD )............( xB*yD )+ ( xC-yD )
y = ---------------- * x + ---------------------
.......2 * (xB + xC )................2*( xB + xC )


.......( yC - yD )
m = ------------
.......( xB + xC )

como yC = yD -> m = 0

m = m1 = m2 = 0 -> retas paralelas.


- comprimento de MN:

d²(M,N) = [ ( xB + xC )/2 - (0) ]² + [ ( yC/2 ) - (yD/2 ) ]² = [ ( xB + xC )/2 ]² + 0 = [ ( xB + xC )/2 ]²

d = ( xB + xC )/2 -> média aritmética das medidas das bases.

Outro modo