Integral simples...

por **alissonsep** Sex 21 Set 2012, 11:58

$\int_{1}^{\infty }\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+3}} \right )dx$

Minha dúvida é no final, pois dá uma indeterminação ∞-∞

o resultado da integração é $\lim_{t\to\infty } \left [ \;2\sqrt{x}-2\sqrt{x+3}\; \right ]_1^t \\\\$

Agradeço a quem puder ajudar.

por **alissonsep** Dom 23 Set 2012, 14:20

Amigos, consegui resolver a questão, eis a resposta para alguém que tiver dúvida parecida:

$\int_{1}^{\infty}\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+3}} \right )dx=\lim_{t \to \infty}\left \{ \left [ \int_{1}^{t}\frac{1}{\sqrt{x}}dx \right ]-\left [ \int_{1}^{t}\frac{1}{\sqrt{x+3}}dx \right ] \right \}=\\\\ = \lim_{t \to \infty}\left \{ \left [ 2\sqrt{x}\right \,]_1^t-\left [ 2\sqrt{x+3}\right ]_1^t \right \}=\;\lim_{t \to \infty}\left \{ 2\sqrt{t}\;-2 - 2\sqrt{t+3}+4 \right \}=\\\\ =\;\lim_{t \to \infty}\left \{ 2\sqrt{t}\;-2 \sqrt{t+3}+2 \right \}=\lim_{t \to \infty}\left \{ 2 \right \}+\left \{ \lim_{t \to \infty}{2\sqrt{t}-2\sqrt{t+3}}\right \} =\\\\=2+\left \{ \lim_{t \to \infty}\frac{2\sqrt{t}-2\sqrt{t+3}}{1}\;.\;\frac{2\sqrt{t}+2\sqrt{t+3}}{2\sqrt{t}+2\sqrt{t+3}} \right \}\;=\;2+\left \{ \lim_{t \to \infty}\frac{4t-4(t+3)}{2\sqrt{t}+2\sqrt{t+3}} \right \}=\\\\ 2+\left \{ \lim_{t \to \infty}\frac{4t-4t-12}{2\sqrt{t}+2\sqrt{t+3}} \right \}=2+\left \{ \lim_{t \to \infty}\frac{-12}{2\sqrt{t}+2\sqrt{t+3}} \right \}=2\\\\ \therefore \text{A integral imprópria Converge.}$

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