Dimensões da constante k

A pressão sonora média numa sala pode ser obtida a partir de uma constante R que pode ser determinada pela equação:

R = V/((T/k)-(V/S))

com a medida do tempo T de reverberação, sendo V o volume da sala e S a área da sala (chão, parede, teto). Quais as dimensões da constante k ?

Resposta: (k) = (M^0)*(L^-1)*(T)

Obrigado !

Vou escrever melhor

........... .... V
R = -------------------
.........(T/k) - (V/S)

[T] = T ----> [ V ] = L³ ----> [S] = L²

Para ser dimensionalmente coerente

[T/k] = [V/S] -----> [T]/[k] = [V]/[S] ---> T/[k] = L³/L² ----> T/[k] = L ---> [k] = (1/L)*T ---> [k] = (L^-1)*T

Acrescentando a massa M^0 ----> [k] = (M^0)(L^-1)*T

R = V/( (T/k) - (V/S) )

( (T/k) - (V/S) ) = V/R

T/k = V/R + V/S

k = T / (V/R + V/S)

R tem que ter a mesma dimensão de S: [L²]

[k] = [T]/( [L³/L²] + [L³/L²] )

[k] = [T]/([L] + [L])

[k] = [T]/[L]

[k] = [T][L-¹]

Mestre Elcioschin, o que significa a passagem

Para ser dimensionalmente coerente

[T/k] = [V/S] ?

Mestre Rihan, por que R tem que ter a mesma dimensão de S ?

Só podemos somar coisas com as mesmas características, as mesmas unidades, mesmas denominações:

1 terço + 2 terços = 3 terços

3 bananas + 5 bananas = 8 bananas

2 jacas + 3 jacas = 5 jacas

Se somarmos banana com jaca com terço, ou dá indigestão ou salada de frutas ou macumba de encruzilhada...

Então, V/R + V/S têm que ter as mesmas unidades.

Então R e S têm que ter as mesmas unidades.

Mestre Rihan

Esse problema me deixa perplexo porque lá no enunciado está dito que R é pressão sonora, e S é área. Como podem ser dimensionalmente iguais ?

Eduardo Sicale escreveu:Mestre Rihan

Esse problema me deixa perplexo porque lá no enunciado está dito que R é pressão sonora, e S é área. Como podem ser dimensionalmente iguais ?

E ainda bem que não são !

Releia o seu texto:

"...A pressão sonora média numa sala pode ser obtida a partir de uma constante R que pode ser determinada pela equação: R = V/((T/k)-(V/S)) ..."

Então, a partir de R, que não é pressão, chega-se a pressão sonora média, cuja unidade no SI é Pa (pascal).

Xará, "Análise Dimensional é um nome chique pra algo bem simples e útil: pensar sobre o que escrevemos.

R = V/((T/k)-(V/S))

Olhando para o que está escrito vemos os termos: (T/k)-(V/S)

Obviamente, só podemos somar (subtrair) coisas com a mesma denominação. Então esses termos têm a mesma unidade.

Como a de V é metro cúbico (m³) e de A é metro quadrado (m²), em V/A ficamos com metro (m).

Como T é segundo (s), k tem de ser algo que o transformará em metro (m).

Só pode ser: s/m

Que na análise dimensional é representado independente do sistema de unidades usado, usando-se [M] para massa, [L] para comprimento, [T] para tempo, associados aos seus expoentes respectivos:

[M⁰][L^-1][T]

É isso.

Mestre Rihan

Gostei da sua explicação e também gostei do "xará", que faz bastante tempo que não ouço rsrsrs...

Esse assunto é novo pra mim, mas, como você falou, é até simples. Estou chegando lá...

Só mais uma coisinha: escrevendo (T/k) = (V/S) não estamos dizendo que o denominador da equação é igual a zero, o que não existe em matemática ? Ou isso não se aplica na análise puramente dimensional, uma vez que o que importa são os coeficientes das unidades, e esses sim é que não podem zerar no denominador ?

Obrigado pelas explicações e pela paciência !

Eduardo Sicale escreveu:Mestre Rihan

Gostei da sua explicação e também gostei do "xará", que faz bastante tempo que não ouço rsrsrs...

Esse assunto é novo pra mim, mas, como você falou, é até simples. Estou chegando lá...

Só mais uma coisinha: escrevendo (T/k) = (V/S) não estamos dizendo que o denominador da equação é igual a zero, o que não existe em matemática ? Ou isso não se aplica na análise puramente dimensional, uma vez que o que importa são os coeficientes das unidades, e esses sim é que não podem zerar no denominador ?

Obrigado pelas explicações e pela paciência !

Eduardo,

Você escreveu:

"(T/k) = (V/S) não estamos dizendo que o denominador da equação é igual a zero,"

Eu não escrevi nem disse isso.

Eu disse que AS DIMENSÕES (UNIDADES) de (T/k) são as mesmas de (V/S).

Quando se escreve: [X]

Está subentendido: Dimensões de X

E não o VALOR de X...

A Análise Dimensional tem equações não de valores, mas de dimensões fundamentais (unidades e seus expoentes).

As unidades e dimensões fundamentais são 7:

Nome da Unidade	Símbolo da Unidade	Nome da Quantidade	Símbolo da Dimensão
metro	m	comprimento	L
quilograma	kg	massa	M
segundo	s	tempo	T
ampere	A	corrente elétrica	I
kelvin	K	temperatura	Θ
candela	cd	intensidade luminosa	J
mol	mol	quantidade de substância	N

Dessas, todas as demais são derivadas.

Seja a grandeza física X.

Quando escrevemos [X] é uma maneira abreviada de se escrever "a dimensão de X".

E a dimensão de X é o produto das dimensões fundamentais elevadas aos seus expoentes:

[X] = [M]^a . [L]^b . [T]^c . [I]^d . [Θ]^e . [J]^f. [N]^g

Geralmente omitindo-se a dimensão fundamental que tenha expoente nulo.

A Análise Dimensional é tanto útil para a verificação da correção das equações, quanto, muitas vezes, para se descobrir fórmulas ou dependências funcionais entre variáveis físicas.

Penso ser proveitoso dar uma estudada no assunto.

Saudações adimensionais !

Eduardo Rihan