CN 1983 - aritmética - número natural

Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 algarismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é:

a)5
b)7
c)8
d)9
e)11

gabarito letra d

N = ab ----> N = 10*a + b

a0b = 100*a + b

10*a + b + 270 = 100*a + b ----> 90*a = 270 ----> a = 3

1/(10*a + b) = 0,0xp ----> p = período

O único valor possível de b para se obter esta dízima é b = 6

1/36 = 0,0277777 ..... x = 2 e p = 7

a = 3, b = 6 ----> a + b = 9

Valeu mestre. Tinha conseguido chegar no a=3 , depois disso, só mesmo à sua experiência. grato



Raimundo

Elcioschin escreveu:N = ab ----> N = 10*a + b

a0b = 100*a + b

10*a + b + 270 = 100*a + b ----> 90*a = 270 ----> a = 3

1/(10*a + b) = 0,0xp ----> p = período

O único valor possível de b para se obter esta dízima é b = 6

1/36 = 0,0277777 ..... x = 2 e p = 7

a = 3, b = 6 ----> a + b = 9

Saudações, mestres. Um adendo à sua solução: Uma forma talvez mais rápida é saber que para existir uma dízima periódica composta, o denominador de uma fração redutível deve ter os fatores 2 e/ou 5 mais algum outros fator que não sejam esses supracitados. Além disso, o número de algarismos do anteperíodo é igual ao maior dos expoentes de 2 ou 5.

Bom, agora teríamos o trabalho de ficarmos testando quais números de 30 a 39 tem na sua composição fatores 2 e/ou 5, com algum desses tendo um expoente 2  + uns/um outro(s) fatores distintos.

Perceberíamos que o único que bate é 36 = 2².3³, logo 1/36 é certamente uma dízima periódica simples com 2 algarismos no anteperíodo. 

Creio que dessa forma economiza tempo, proeminentemente em concursos, haja vista que não  precisaria ficar dividindo para saber se bate as condições do enunciado. 

Todavia, a sua resolução é uma bela solução. "TMJ", mestrão.

Excelente complementação Carlos Heitor: ajuda bastante os estudantes.