Simplifique a expressão

Olá galera, alguém pode me dar uma dica de como fazer essa questão de uma forma mais sucinta?

Agradeço desde já!

Simplifique a expressão:

{( 2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)] }²

Veja aqui :

( 2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)]

Ao tirar o MMC, muitas coisas se cancelam e aparecem uns produtos notáveis.. :

{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]

Vamos primeiro olhar o numerador :

( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 - √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)

2√2 + √6 - 2√(2 - √3) + √(6 - 3√3) + 2√2 - √6 + 2√(2 + √3) - √(6 + 3√3)

4√2 - 2√(2 - √3) + √(6 - 3√3) + 2√(2 + √3) - √(6 + 3√3)

O que eu faria aqui : Desmembraria tudo em radical duplo , veja :

Aplicando a fórmula de radical duplo :

√(2 - √3) = [√6 - √2] / 2

√(2 + √3) = [√6 + √2] / 2

√(6 - 3√3) = [ 3√2 - √6] / 2

√(6 + 3√3) = [ 3√2 + √6] / 2

Substituindo e organizando :

4√2 - 2[√6 - √2]/ 2 + [ 3√2 - √6 ]/ 2 + 2[√6 + √2]/ 2 - [ 3√2 + √6]/ 2

4√2 - √6 + √2 + [ 3√2 - √6 - 3√2 - √6]/ 2 + √6 + √2

6√2 - √6


Que é o numerador em questão.

Veja agora o denominador :
[√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]

2 - √(4 - 2√3) + √(4 + 2√3) - √[(2 + √3)(2 - √3)]

2 - √(4 - 2√3) + √(4 + 2√3) - 1

1 + √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3)

Podemos aqui, pensar em radical duplo :
A = 4
B = √12 (Joguei o 2 para dentro da raiz quadrada √4.3 = √12)

Então :

C² = A² - B
C² = 16 - 12 = 4 .'. C = 2

Então um radical será :

x = √(4 + 2)/2 + √(4 - 2)/2 = √3 + 1

Analogamente, o outro , só muda o sinal :

y = √3 - 1

Então :

1 + √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3) = 1 + √3 + 1 - √3 + 1 = 3

Logo , tudo se resume á:

{[ 6√2 - √6 ] / 3 }²

Al. Henrique, ao tirar o MMC não deveria ficar assim:

{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]

Ao invés de assim:

{( 2 + √3)[√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]


????

Corrigido !

O erro de digitação levou ao erro do resto da questão na parte do numerado, mas ja está tudo certo.

Hum.. Foi para ver se você tava prestando atenção mesmo :drunken:

{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]

Após isso a róxima passagem não deveria ser:

( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 - √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)


Ao invés de :

( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 + √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)

???

Não entendi!

Dê uma lida novamente!

Qualquer coisa, pergunte. Você estava certa denovo!