Simplifique a expressão
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Simplifique a expressão
Olá galera, alguém pode me dar uma dica de como fazer essa questão de uma forma mais sucinta?
Agradeço desde já!
Simplifique a expressão:
{( 2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)] }²
Agradeço desde já!
Simplifique a expressão:
{( 2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)] }²
Nat'- Mestre Jedi
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Data de inscrição : 13/06/2012
Idade : 29
Localização : São José dos Campos - SP , Brasil
Re: Simplifique a expressão
Veja aqui :
( 2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)]
Ao tirar o MMC, muitas coisas se cancelam e aparecem uns produtos notáveis.. :
{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
Vamos primeiro olhar o numerador :
( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 - √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)
2√2 + √6 - 2√(2 - √3) + √(6 - 3√3) + 2√2 - √6 + 2√(2 + √3) - √(6 + 3√3)
4√2 - 2√(2 - √3) + √(6 - 3√3) + 2√(2 + √3) - √(6 + 3√3)
O que eu faria aqui : Desmembraria tudo em radical duplo , veja :
Aplicando a fórmula de radical duplo :
√(2 - √3) = [√6 - √2] / 2
√(2 + √3) = [√6 + √2] / 2
√(6 - 3√3) = [ 3√2 - √6] / 2
√(6 + 3√3) = [ 3√2 + √6] / 2
Substituindo e organizando :
4√2 - 2[√6 - √2]/ 2 + [ 3√2 - √6 ]/ 2 + 2[√6 + √2]/ 2 - [ 3√2 + √6]/ 2
4√2 - √6 + √2 + [ 3√2 - √6 - 3√2 - √6]/ 2 + √6 + √2
6√2 - √6
Que é o numerador em questão.
Veja agora o denominador :
[√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
2 - √(4 - 2√3) + √(4 + 2√3) - √[(2 + √3)(2 - √3)]
2 - √(4 - 2√3) + √(4 + 2√3) - 1
1 + √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3)
Podemos aqui, pensar em radical duplo :
A = 4
B = √12 (Joguei o 2 para dentro da raiz quadrada √4.3 = √12)
Então :
C² = A² - B
C² = 16 - 12 = 4 .'. C = 2
Então um radical será :
x = √(4 + 2)/2 + √(4 - 2)/2 = √3 + 1
Analogamente, o outro , só muda o sinal :
y = √3 - 1
Então :
1 + √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3) = 1 + √3 + 1 - √3 + 1 = 3
Logo , tudo se resume á:
{[ 6√2 - √6 ] / 3 }²
( 2 + √3) / [√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3) / [√2 - √(2 - √3)]
Ao tirar o MMC, muitas coisas se cancelam e aparecem uns produtos notáveis.. :
{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
Vamos primeiro olhar o numerador :
( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 - √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)
2√2 + √6 - 2√(2 - √3) + √(6 - 3√3) + 2√2 - √6 + 2√(2 + √3) - √(6 + 3√3)
4√2 - 2√(2 - √3) + √(6 - 3√3) + 2√(2 + √3) - √(6 + 3√3)
O que eu faria aqui : Desmembraria tudo em radical duplo , veja :
Aplicando a fórmula de radical duplo :
√(2 - √3) = [√6 - √2] / 2
√(2 + √3) = [√6 + √2] / 2
√(6 - 3√3) = [ 3√2 - √6] / 2
√(6 + 3√3) = [ 3√2 + √6] / 2
Substituindo e organizando :
4√2 - 2[√6 - √2]/ 2 + [ 3√2 - √6 ]/ 2 + 2[√6 + √2]/ 2 - [ 3√2 + √6]/ 2
4√2 - √6 + √2 + [ 3√2 - √6 - 3√2 - √6]/ 2 + √6 + √2
6√2 - √6
Que é o numerador em questão.
Veja agora o denominador :
[√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
2 - √(4 - 2√3) + √(4 + 2√3) - √[(2 + √3)(2 - √3)]
2 - √(4 - 2√3) + √(4 + 2√3) - 1
1 + √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3)
Podemos aqui, pensar em radical duplo :
A = 4
B = √12 (Joguei o 2 para dentro da raiz quadrada √4.3 = √12)
Então :
C² = A² - B
C² = 16 - 12 = 4 .'. C = 2
Então um radical será :
x = √(4 + 2)/2 + √(4 - 2)/2 = √3 + 1
Analogamente, o outro , só muda o sinal :
y = √3 - 1
Então :
1 + √(4 + 2√3) - √(4 - 2√3) = 1 + √3 + 1 - √3 + 1 = 3
Logo , tudo se resume á:
{[ 6√2 - √6 ] / 3 }²
Última edição por Al.Henrique em Sex 13 Jul 2012, 01:14, editado 4 vez(es)
Re: Simplifique a expressão
Al. Henrique, ao tirar o MMC não deveria ficar assim:
{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
Ao invés de assim:
{( 2 + √3)[√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
????
{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
Ao invés de assim:
{( 2 + √3)[√2 + √(2 + √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
????
Nat'- Mestre Jedi
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Re: Simplifique a expressão
Corrigido !
O erro de digitação levou ao erro do resto da questão na parte do numerado, mas ja está tudo certo.
Hum.. Foi para ver se você tava prestando atenção mesmo :drunken:
O erro de digitação levou ao erro do resto da questão na parte do numerado, mas ja está tudo certo.
Hum.. Foi para ver se você tava prestando atenção mesmo :drunken:
Re: Simplifique a expressão
{( 2 + √3)[√2 - √(2 - √3)] + ( 2 - √3)[√2 + √(2 + √3)] } / [√2 + √(2 + √3)] [√2 - √(2 - √3)]
Após isso a róxima passagem não deveria ser:
( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 - √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)
Ao invés de :
( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 + √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)
???
Não entendi!
Após isso a róxima passagem não deveria ser:
( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 - √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)
Ao invés de :
( 2 + √3).√2 - ( 2 + √3).√(2 + √3) + (2 - √3)√2 + (2 - √3)√(2 + √3)
???
Não entendi!
Nat'- Mestre Jedi
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Re: Simplifique a expressão
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