CMB 2008 nr 13 Geometria

Em uma circunferencia de diâmetro GH, centro C e raio 2cm, inscreve-se um triângulo equilátero CMB. Seja F o ponto onde a bissetriz do ângulo B^CM intercepta essa semicircunferencia. Com base nessaas informações, pode-se afirmar que o comprimento da corda FM , em cm é igual a

a - 2 -V3

b - 2 +V3

c V2 + V3

d - 2 V2 - V3 Obs: nas alternativas d e e a raiz quadrada de 3 está dentro do radical da raiz quadrada de 2!!!!!

e - 2V2 +V3

Não consegui fazer nem a figura

Resp gab alt D

Se você achar necessário, depois faço um desenho. Por ora considere o seguinte.

Um vértice do triângulo está no centro da circunferencia, ponto C. O triângulo está inscrito, então seus outros vértices, M e B, estão sobre ela. Na verdade, dever-se-ia dizer que o triângulo está inscrito numa semicircunferência.

Como o triângulo é equilátero, todos os seus lados têm mesma medida, que é o raio. E todos os ângulo valem 60º. Logo, o ângulo da bissetriz vale 30º. Então FM é uma corda sobre um ângulo central (do centro da circunferência) de 30º.

Considere, agora, o triângulo CFM formado pela corda FM e os dois raios. Chamando FM=p e aplicando a lei dos cossenos:
p² = r² + r² - 2.r.r.cos30º
p² = 2r² - 2r².√3/2
p² = r²(2-√3) -----> p = r.√(2-√3)

adendo
para evitar esse radical duplo, também se poderia apresentar a resposta desta forma:

Valeu mestre Medeiros. Não querendo abusar, gostaria de ter este desenho arquivado. Quando sobrar um tempo gostaria que o postasse. O adendo sobre o radical duplo foi bem lembrado. Pois está sempre escondido nos casos de fatoração. um abraço e bom domingo . att



Raimundo

pois não, Raimundo, eis o desenho.



bom domingo.

bom dia mestre

Valeu . Esta realmente não consegui vizualizar . att

Raimundo