(UnB) Polinômios

Considerando os polinômios:
P(x) = x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 1, Q(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 e R(x) = x⁶ - 1, julgue os itens seguintes:

1) Os polinômios P(x) e Q(x) possuem, cada um deles, pelo menos, uma raiz real, e todas as raízes de R(x) são reais.
2) As raízes de Q(x) são também raízes de R(x).
3) P(x) possui quatro raízes complexas não reais, duas a duas conjugadas.
4) O conjunto das raízes de P(x) é disjunto do conjunto das raízes de Q(x).
5) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, qualquer translação, na direção do eixo Ox ou do eixo Oy, dos gráficos das funções polinomiais y = P(x) e y = Q(x) fará que as novas funções polinomiais resultantes tenham sempre raízes reais, afirmação que não pode ser feita em relação ao gráfico da função polinomial y = R(x).

Gabarito:

Spoiler:

P(x) = x⁵ - x⁴ + x³ - x² + x - 1 ................... P(x)=0 -> x=1
Q(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 ............... Q(x)=0 -> x=-1
R(x) = x⁶ - 1 ............................................. R(x)=0 -> x=±1

1) Os polinômios P(x) e Q(x) possuem, cada um deles, pelo menos, uma raiz real, e todas as raízes de R(x) são reais.
ERRADO. R(x) possui apenas 2 raízes reais.

2) As raízes de Q(x) são também raízes de R(x).
CERTO. Tanto a real quanto as complexas. Q(x) e R(x) têm quatro raízes imaginárias.

3) P(x) possui quatro raízes complexas não reais, duas a duas conjugadas.
CERTO. Tem uma raiz real e quatro imaginárias. Raízes imaginárias são conjugadas duas a duas.

4) O conjunto das raízes de P(x) é disjunto do conjunto das raízes de Q(x).
CERTO. A raiz real de P(x)=+1 e a de Q(x)=-1.

5)
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, qualquer
translação, na direção do eixo Ox ou do eixo Oy, dos gráficos das
funções polinomiais y = P(x) e y = Q(x) fará que as novas funções
polinomiais resultantes tenham sempre raízes reais, afirmação que não
pode ser feita em relação ao gráfico da função polinomial y = R(x).
CERTO.
P(x) e Q(x) têm domínio e imagem entre {-∞, +∞} e cortam as abscissas uma única vez; portanto qualquer translação continuará mantendo uma raiz real.
Quanto a R(x):
y=R(x) = x^6 - 1
y' = 6x^5 -----> y'=0 ⇔ x=0
y'' = 30x^4 -----> y''>0 ∀x , ∴ x=0 é ponto de mínimo de R(x)
Logo, R(x) tem um mínimo em x=0, então tem uma concavidade para cima. Portanto, uma translação de R(x) em Oy, se feita no sentido das ordenadas crescentes, poderá acarretar a perda das raízes.