Raíz Quadrada de Cinquenta

por caca-filho Ter maio 01 2012, 14:27

Olá meus caros,
encontrei um modo de resolução de raiz quadrada, da qual fiquei intrigado por não saber fazer.
Encontra-se assim:
$\\ \sqrt{50} = \sqrt {7^2 + 1} \approx 7 + \frac{1}{14} = 7 + 0,07$

Mas eu não entendi da onde surgiu esse 1/14. Alguém que saiba e possa me explicar por favor?

por **Euclides** Ter maio 01 2012, 14:47

Isso é uma aplicação das diferenciais. A ideia é a seguinte:

$\\\sqrt{50}\sim \sqrt{49}+\Delta x_0 \to f(x_0)+f'(x_0).\Delta x\\\\\sqrt{50}\to x_0=49\to 7+\frac{1}{2\sqrt{7^2}}.1$

Só fornece boas aproximações para $\Delta x$ muito pequeno.

por **Medeiros** Ter maio 01 2012, 15:00

Caca,
essa é uma aplicação do conceito de infinitésimos aos limites quando $x \to 0$ . É vista num curso inicial de cálculo no ensino superior em exatas. Há outras:

$\\ \text{quando} x \to 0 \\\\ \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2} \\\\\ \frac{1}{1+x} \approx 1-x \\\\ \sqrt{a^2+x} \approx a+\frac{x}{2a} \;\;\;\;\;(a>0) \\\\ (1+x)^n \approx 1+nx \;\;\;\;(n\text{, é um nº natural}) \\\\ log(1+x) \approx Mx \;\text{, onde } M=log\;e = 0,43429...$

Exemplos extraídos do livro "Problemas Y Ejercicios de Analisis Matematico", B. Demidovich et alli, editora MIR, 1973.

Observe que x deve ser o mais próximo possível de zero.

Se, no seu exemplo, fizéssemos √50 = √(36+14) = √(6²+14) ≈ 6 + 14/12 = 6 + 1,17 = 7,17 ; veríamos que já não funciona.

por **PedroX** Ter maio 01 2012, 15:37

Outro jeito é fazer assim:

5.10 = 50

(5+10)/2 = 7,5

(7,5 + 50/7,5) / 2 = 7,08

(7,08 + 50/7,08) / 2 = 7,071

V50 ~= 7,071

Acho que o Elcioschin postou algo relacionado. É um algoritmo de raíz quadrada, que tem várias aplicações, inclusive em programação.

por **Euclides** Ter maio 01 2012, 15:50

https://pir2.forumeiros.com/t10057-algoritmos-para-raiz-quadrada-e-raiz-enesima-por-elcioschin

por **ivomilton** Ter maio 01 2012, 15:59

caca-filho escreveu:Olá meus caros,
encontrei um modo de resolução de raiz quadrada, da qual fiquei intrigado por não saber fazer.
Encontra-se assim:
$\\ \sqrt{50} = \sqrt {7^2 + 1} \approx 7 + \frac{1}{14} = 7 + 0,07$

Mas eu não entendi da onde surgiu esse 1/14. Alguém que saiba e possa me explicar por favor?

Boa tarde,

7 + 1/14 = 7 + 1/(2*7)

Se elevarmos (x + 1/2x) ao quadrado, iremos obter (x² + 1 + 1/4x²), valor bem próximo de (x² + 1), sendo a diferença igual ao último termo do desenvolvimento do quadrado: 1/4x², o qual, no exemplo dado, é igual a
0,005102041 — uma diferença mínima em relação à raiz quadrada efetiva.

√50 .... = 7,071067812
7+1/14 = 7,071428571

Um abraço.