Gravitação Universal

por Diegomedbh Qua 14 Mar 2012, 11:17

Um par de estrelas gira em torno do centro de massa comum. A massa de uma delas é M , o dobro da massa m da outra,M = 2m. A distância d entre os centros das estrelas é grande, comparada ao tamanhode qualquer delas. Determine o período de rotação das estrelas em torno do centro de massa.

Alguém pode me ajudar?

por **Euclides** Qua 14 Mar 2012, 17:28

O período de um sistema gravitacional binário é dado por:

$T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G(m_1+m_2)}}$

Dedução:

$\\\text{as velocidades de translação serão:}\\\\v_1=\frac{2\pi r_1}{T}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;v_1^2=\frac{4\pi^2 r_1^2}{T^2}\\\\v_2=\frac{2\pi r_2}{T}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;v_2^2=\frac{4\pi^2 r_2^2}{T^2}$

a força gravitacional é a mesma em ambos

$\\F=\frac{Gm_1m_2}{(r_1+r^2)^2}=\frac{m_1v_1^2}{r_1}=\frac{4\pi^2m_1r_1}{T^2}\;\;\;\to\;\;\frac{Gm_2}{(r_1+r^2)^2}=\frac{4\pi^2r_1}{T^2}\;\;\;(1)\\\\\\F=\frac{Gm_1m_2}{(r_1+r^2)^2}=\frac{m_2v_2^2}{r_2}=\frac{4\pi^2m_2r_2}{T^2}\;\;\;\to\;\;\frac{Gm_1}{(r_1+r^2)^2}=\frac{4\pi^2r_1}{T^2}\;\;\;(2) \\\\\\(1)+(2)\;\to\;\frac{G(m_1+m_2)}{d^2}=\frac{4\pi^2d}{T^2}\;\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\;{\color{Red} T=2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G(m_1+m_2)}}}$

c.q.d.

por Diegomedbh Qua 14 Mar 2012, 18:13

Entendi a dedução, muito obrigado. Mas a resposta no gabarito é
T= 2∏ Raiz {3d^3}/{GM} faltou só 3! E M aparece no denominador no lugar de m1+m2.
De onde vem esse 3?

por **Euclides** Qua 14 Mar 2012, 18:26

$m_1+m_2=3m\;\;\;\to\;\;2\pi\sqrt{\frac{d^3}{G(m_1+m_2)}}=\frac{2\pi d^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{3mG}}$

você conhecia a resposta e a omitiu, não é?

por Diegomedbh Qua 14 Mar 2012, 18:40

Não omiti, longe de mim em fazer isso apenas não sabia que tenho que colocar a resposta. Eu tenho? Se tiver peço minhas sinceras desculpas pois postei as questões sem colocar as respostas. Então agora vou colocá-las sempre.

A resposta conforme o gabarito é:

T= 2 ∏ raiz quadrada de 3 que multiplica d ao cubo divido pela raiz quadrada de GM.
T=2 ∏ raiz 3d3/GM

por **Euclides** Qua 14 Mar 2012, 18:53

Não se trata de uma obrigação, mas de uma gentileza para com quem tenta ajudá-lo, afinal você possuía essa informação também. O mesmo se dá para uma questão que tenha alternativas. As alternativas fazem parte da questão.

Quanto a isso há no fórum, na coluna à direita, esta solicitação:

Gravitação Universal Prov

por Diegomedbh Qua 14 Mar 2012, 19:00

Concordo plenamente e não trato como obrigação se deixei transparecer isso não foi minha intenção afinal você assim como outros nesse fórum me ajudam bastante por isso peço sinceras desculpas a todos pela minha falta de atenção.