Matemática

por yelrlx Sex 24 Fev 2012, 13:37

Prove que, dado um número racional a/b e um número natural n≥2, nem sempre raiz enésima de (a/b) é racional.

por **Euclides** Sex 24 Fev 2012, 14:44

Para provar que "nem sempre", basta um único exemplo.

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por Werill Sex 24 Fev 2012, 14:47

Euclides, tem (ou você conhece) outra forma de provar?

por **Euclides** Sex 24 Fev 2012, 14:53

Quando você tem algo como:

"prove que n² é sempre positivo" --> então você precisa provar que não há exceções. Uma prova completa.

mas se você tem

"prove que n³ não é sempre positivo" --> basta mostrar um único caso em que seja negativo.

é uma forma lógica e absolutamente correta.

Se quiser completar a prova, basta mostrar que $\sqrt{2}$ é irracional:

PROVA, por contradição:

Suponha que existem números inteiros positivos p e q tais que (p/q)² = 2.
Escolha p e q de modo que eles não tenham divisor comum, ou seja,
de modo que não exista um número inteiro maior que 1 que divida tanto p quanto q.
O número p² é par (pois p² = 2q²).
O número p é par (pois o produto de quaisquer dois números ímpares é ímpar).
Seja s o número p/2.
O número q² é par (pois q² = p²/2 = (2s)²/2 = 2s²).
O número q é par.
Os números p e q são divisíveis por 2.
Isso contradiz a maneira como escolhemos p e q.
A contradição mostra que a raiz quadrada de 2 é irracional.