Valor de x numa pg

por **Adam Zunoeta** Ter 31 Jan 2012, 13:58

Seja (a,b,c,d,e) uma progressão geométrica de razão a, com a>0 e a#1. Se a soma de seus termos é igual a (13a+12) e "x" é um número real positivo diferente de 1 tal que:

Valor de x numa pg 72987080

Calcule x.

Gabarito:
27

Tentativa:

Valor de x numa pg 48964744

por Convidado Ter 31 Jan 2012, 16:14

Nossa que conta enorme, ja posto minha resolução.

por Convidado Ter 31 Jan 2012, 16:34

1 parte:

$\frac{1}{log_a{x}}+\frac{1}{log_b{x}}+\frac{1}{log_c{x}}+\frac{1}{log_d{x}}+\frac{1}{log_e{x}}=\\ \frac{1}{\frac{logx}{loga}}+\frac{1}{\frac{logx}{logb}}+\frac{1}{\frac{logx}{logc}}+\frac{1}{\frac{logx}{logd}}+\frac{1}{\frac{logx}{loge}}=\\ \frac{loga+logb+logc+logd+loge}{logx}=\\ \frac{log(abcde)}{logx}\;\;abcde=aa^2a^3a^4a^5=a^{15}\\\frac{log(a^{15})}{logx}=\frac{5}{2}\to\frac{15\cdot log(a)}{logx}=5/2\to \frac{loga}{logx}= \frac{1}{6}\to \frac{logx}{loga}=6\to \\log_a{x}=6\to a^6=x$

2ª parte:
$\large a+b+c+d+e=a+a^2+a^3+a^4+a^5=\frac{a(a^5-1)}{a-1}\;\;\text{como x é diferente de 1}\\ \frac{a(a^5-1)}{a-1}=a(a^4+a^3+a^2+a+1)=13a+12\to a^5+a^4+a^3+a^2-12a-12=0\\ \text{utilizando o teorema das raízes racionais e logo depois aplicando Briot-Ruffini, descobrimos que uma das raízes é 1, mas a}\neq\text{1, logo temos:}\;\;a^4+a^2-12=0\;\;\text{descobrindo todas as raízes temos: }S=({\fbox{\sqrt3}},-\sqrt3,2i,-2i)\\x=a^6=(\sqrt3)^6=3^{\frac{6}{2}}=3^3=27\\x=27$

Forte abraço e bons estudo, de onde você tirou esta questão? Abrange um monte de conteúdo.