ARITMÉTICA

por ina Sex 25 Set 2009, 23:18

1ª Questão.

Usando indução finita, mostre que 7|(2^3n -1), para todo número natural n, n maior ou igual n,n >= 0

Obs.[b]>= maior ou igual)

Agradeço. Smile

por **Robson Jr.** Dom 16 Dez 2012, 22:43

Para n = 0, a divisibilidade ocorre:

$\small 2^{3n}-1=0=7 \times 0$

Suponha que para um n genérico o enunciado valha, isto é:

$\small 2^{3n}-1=7k, \ k \in \mathbb{Z_+}$

Para n + 1, teremos:

$\small 2^{3(n+1)}-1=8.2^{3n}-1=7.2^{3n}+2^{3n}-1=7\left ( 2^{3n}+k \right )$

Se a divisibilidade ocorre para "n", ela obrigatoriamente ocorre para "n+1". Como vale para a base de indução 0, pelo Princípio da Indução finita vale para todo natural.

CqD

por **JOAO [ITA]** Seg 17 Dez 2012, 01:00

Apesar de você ter pedido a demonstração por indução finita, também é possível demonstrar, dentre outras formas, usando as propriedades da congruência:

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