Divisão Polinomial

Calcule m e n para que o polinômio A(x) = 2x^4 - x³ + mx² - nx + 2 seja divisível por B(x)= x² - x - 2
Resposta: m = 9 n = 5
Quando fala "seja divisível" quer dizer que a equação B(x) é divisora de A(x)?
Alguém, por favor, me explique como eu faço passo a passo quando tem uma divisão polinomial com variaveis.( além desta questão)

Significa que a divisão de A(x) por B(x) é EXATA, isto é não deixa resto

Método da chave:

+2x^4 -.. x³ + mx² - nx + 2 |x² - x - 2
-2x^4 + 2x³ + 4x² .............|2x² + x + (m+5)
____________________
....... x³ + (m+4)x² - nx
..... - x³ +....... x² + 2x
_______________________
......... (m+5)x²+(2-n)x + 2
- (m+5)x² +(m+5)x+ 2m+10
_______________________
............(m-n+7)x + 2m+12

Solução:

2m + 12 = 0 ----> m = - 6

m - n + 7 = 0 -----> -6 - n + 7 = 0 ----> n = 1

Ou sseu enunciado tem erro ou seu gabarito está errado

Nesse caso não precisa fazer a divisão polinomial, basta fazer:

B(X).q(x) + r(x) = A(X)

Onde: q(x) = polinômio do quociente

r(x) = polinômio do resto

Para que as os polinômios sejam divisíveis, devemos ter r(x) = 0.

Então:

(x² - x - 2).q(x) = 2x^4 - x³ + mx² - nx + 2


Note que as raízes de x² - x - 2 são -1 e 2.

Assim,

i) Se x = -1

0 = 2*(-1)^4 - (-1)³ + m + n + 2

m + n = - 5


ii)

Se x = 2:

n = 2m + 13


Agora basta resolver o sistema:

m + n = - 5 -----> m + (2m + 13) = - 5

Logo,

m = -6
n = 1



OBS: Se vc tentasse por divisão de polinômios iria encontrar o mesmo valor.

Acredito que o gabarito esteja errado.

x²-x-2=0
Δ=1+8=9
x'=1+3/2=2
x''=1-3/2=-1
x²-x-2=(x-2)(x+1)

A(2)=0 e A(-1)=0
então:
A(2)=0=2(2^4)-(2)³+2²m-2n+2
0=4m-2n+26

A(-1)=0=2(-1)^4-(-1)³+(-1)²m-(-1)n+2
0=2+1+m+n+2 <-> m+n+5=0

fazendo um sistema
4m-2n+26=0
m+n+5=0
m=-6 n=1

ficando
A(x)=2x^4-x³-6x²-x+2

Confirmando o que nosso colega Elcioschin colocou.

O resultado que eu tenho ta errado então.
Eu tinha feito do jeito do Elcioschin e do luiseduardo, achei os mesmos resultados
mas no gabarito que eu tenho eram outros resultados (m = 9 e n = 5) e eu pensei que tinha feito errado¬¬"
Obrigado ai gente.