Divisão polinomial

por Victor Luz Ter 14 Nov 2017, 09:55

Determine os números reais p e q, sabendo que x^4+1 é divisível por x²+px+q.

Tentei pelo metodo da chave e por Descartes mas não consegui, se puderem analisar ficarei grato.

Gabarito: p=±√2 e q=1

por **Elcioschin** Ter 14 Nov 2017, 13:24

Mostre a sua solução usando Método da Chave.

por evandronunes Ter 14 Nov 2017, 13:41

Fazendo a divisão:

+x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 1 | \underline{x² + px + q}
\underline{-x^4 - px^3 -qx^2} x^2 -px + (p^2-q)
- px^3 -qx^2 + 1
\underline{+ px^3 +p^2x^2 + pqx}
+(p^2-q)x^2 +pqx+1
\underline{-(p^2-q)x^2 -(p^3-pq)x-(p^2q-q^2)}
(2pq -p^3)x+(q^2-p^2q+1)

Para ser divisível temos que ter 2pq -p^3=0 e q^2-p^2q+1=0, assim monta-se o sistema:

$\begin{cases} 2pq -p^3=0 \\ q^2-p^2q=-1 \end{cases}$

Para q=0 ou p=0, o sistema não tem solução. Logo q \neq 0 e q \neq 0.

Portanto, o sistema pode ser reescrito da forma:

$\begin{cases} 2q -p^2=0 \\ q-p^2=-1 \end{cases}$

Cujas as soluções são q=1 e p=\pm \sqrt{2}.

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