algebra linear

Dada a matriz

A =

−3 4
−1 2
,encontre,se existir, uma matriz P (invertível) e uma matriz diagonal D tais que

AP = P D.

Isto é, mostre que A é uma matriz diagonalizavel.

O polinômio característico da matriz \(A \) é
\[
\begin{vmatrix}
-3 - t & 4 \\
-1 & 2 - t
\end{vmatrix} = (t-2)(t+3) + 4 = t^2 + t -6 + 4 = t^2 + t - 2 = (t+2)(t-1)
\]
Em princípio, como o polinômio característico de \(A\) só apresenta raízes reais de multiplicidade unitária, \(A\) é diagonalizável. 

Assim, devemos encontrar os autovetores associados aos autovalores \(-2 \) e \(1\):

Autovalores de \(-2\):
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 4 \\
-1 & 4
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies x = 4y \implies (x,y) = (4y, y)
\]
Logo, \( \mathrm{Ker} (A + 2I ) = \left\{(4,1)\right\} \).

Da mesma forma, para o autovalor \(1\):
\[
\begin{pmatrix}
-4 & 4 \\
-1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies x = y \implies (x,y) = (x,x)
\]
Assim, \( \mathrm{Ker} (A - I) = \left\{ (1,1) \right\}\). 

Com isso, obtemos os autovetores associados respectivamente aos autovalores \(-2 \) e \(1\). De modo que escrevemos os autovetores em colunas:
\[
P = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \implies P^{-1} =  \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}
\]
De modo que
\[\begin{aligned}
D & = P^{-1} A P \\
& =  \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\
& = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -2 & 2  \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\
& = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{aligned}
\]
Note que a matriz \(D\) tem entradas na sua diagonal principal coincidentes aos autovalores \(-2\) e \(1\) na ordem em que os dispomos na matriz dos autovetores \(P\), conforme esperávamos.