(IME/ITA) Cilindro

por JpGonçalves_2020 Seg 20 Nov 2023, 18:07

Um recipiente em forma de cilindro circular reto contém líquido até 6/7 de sua altura. Determine a medida do ângulo de inclinação para que dito líquido esteja na iminência de derramar, sabendo que a área da base e altura deste recipiente medem [latex]16\pi [/latex] е [latex]21[/latex], respectivamente.

Infelizmente não posso gabarito.

por **Elcioschin** Seg 20 Nov 2023, 19:37

por **Giovana Martins** Seg 20 Nov 2023, 19:37

Outro jeito.

[latex]\\\mathrm{V_{Cilindro}=\frac{1}{3}S_{Base}H=\frac{1}{3}\times 16\pi \times 21=112\pi}\\\\ \mathrm{V_{\acute{A}gua}=\frac{6}{7}V_{Cilindro}=\frac{6}{7}\times 112\pi =96\pi }\\\\ \mathrm{V_{Vazio}=V_{Cilindro}-V_{\acute{A}gua}=112\pi-96\pi =16\pi }\\\\ \mathrm{V_{Tronco,Cilindro}=V_{Vazio}=\frac{\pi R^2(g_{Maior}+g_{Menor})}{2}=16\pi}\\\\ \mathrm{Sendo\ S_{Base}=\pi R^2\ \therefore\ R=\sqrt{\frac{S_{Base}}{\pi }}=\sqrt{\frac{16\pi }{\pi }}=4\ \therefore\ \phi =8}\\\\ \mathrm{Sendo\ g_{Menor}=0:\frac{(4)^2\times (g_{Maior}+0)}{2}=16\ \therefore\ g_{Maior}=2}\\\\ \mathrm{\therefore\ \theta =arctan\left (\frac{g_{Maior}}{\phi } \right ) =arctan\left ( \frac{2}{8} \right )=arctan\left ( \frac{1}{4} \right )}[/latex]

por **Giovana Martins** Seg 20 Nov 2023, 19:58

Imagem postada.

por **Giovana Martins** Seg 20 Nov 2023, 20:26

Élcio, saberia dizer o motivo pelo qual nossas resoluções chegam a resultados diferentes?

Estou olhando aqui e não acho nada de errado em ambas.

por **Medeiros** Seg 20 Nov 2023, 21:09

Giovana,

Certamente a solução do Élcio está correta, até devido a simplicidade e transparência da argumentação. E como aquilo forma um triângulo famoso (3, 4, 5), sem fazer contas, podemos cravar que o ângulo é aproximadamente 37°.

Na sua resolução, a bagunça começou na 1ª eq quando você calculou o volume do cilindro como se fosse cone, você multiplicou por 1/3 -- êta distração! Como consequência você deveria ter encontrado os seguintes valores:
V_cilindro = 336.pi
V_água = 336.pi.6/7 = 288.pi
V_vazio = (336 - 288).pi = 48.pi

Agora aplicando a fórmula do tronco que você usou, fica
(4².(g_M + 0))/2 = 48 -----> g_M = 6
e este valor de g_M aplica-se ao diâmetro, conforme a lógica de solução que você mostrou no desenho, o que resulta em tg(phi) = 6/8 = 3/4

este resultado conicide com o do Élcio.

por JpGonçalves_2020 Seg 20 Nov 2023, 22:44

Muito obrigado! Smile

por **Giovana Martins** Ter 21 Nov 2023, 20:47

Medeiros escreveu:
Giovana,

Certamente a solução do Élcio está correta, até devido a simplicidade e transparência da argumentação. E como aquilo forma um triângulo famoso (3, 4, 5), sem fazer contas, podemos cravar que o ângulo é aproximadamente 37°.

Na sua resolução, a bagunça começou na 1ª eq quando você calculou o volume do cilindro como se fosse cone, você multiplicou por 1/3 -- êta distração! Como consequência você deveria ter encontrado os seguintes valores:
V_cilindro = 336.pi
V_água = 336.pi.6/7 = 288.pi
V_vazio = (336 - 288).pi = 48.pi

Agora aplicando a fórmula do tronco que você usou, fica
(4².(g_M + 0))/2 = 48 -----> g_M = 6
e este valor de g_M aplica-se ao diâmetro, conforme a lógica de solução que você mostrou no desenho, o que resulta em tg(phi) = 6/8 = 3/4

este resultado conicide com o do Élcio.