lugar geometrico

[size=16]Três pontos, A, B, C, são arbitrários sobre uma circunferência de raio 1. Qual o lugar geométrico descrito pelos ortocentros dos vários triângulos ABC formados?


Dica: lembre-se do que é a reta de Euler e tente pensar sobre os outros dois pontos além do ortocentro envolvidos nela.
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Círculo de raio 0,5





Círculo de raio 1





Círculo de raio 1,5





Círculo de raio 2





Círculo de raio 3

Se o triângulo for equilátero o ortocentro é o cento O do círculo

Se o triângulo for retângulo, sendo A o vértice do ângulo reto, o
ponto A é o o ortocentro e descreve um círculo de raio 1

Pegando a dica fornecida pelo enunciado (reta de Euler), nomeando:
C = circuncentro (encontro das mediatrizes das arestas do triângulo)
G = baricentro (encontro das medianas)
H = ortocentro (encontro das alturas)
E = centro do círculo de Euler (apenas para constar, não usado para solução deste problema)

diz a teoria do círculo de Euler que a reta de Euler liga os pontos C, G e H tendo a seguinte relação entre eles:

1) CH = 3.CG  ----->  HG/GC = 2/1

2) CE = EH  ----->  HE/EG = 3/1  <==>  HE = 1,5*EG
.......................ou  CG/GE = 2/1  <==>  CG = 2.GE




Agora consideremos o seguinte:

a) como todos os aventados triângulos estão sempre dentro do mesmo círculo de raio 1, então o circuncentro C é único para todos -- é o próprio centro do dado círculo.

b) para os infinitos triângulos equiláteros existentes nesse círculo os pontos C, G e H são conincidentes, ou seja, sempre o mesmo ponto C.

c) o baricentro G estará sempre dentro do triângulo, logo estará sempre dentro do círculo dado.

d) dada a aleatoriedade dos vértices, além dos já citados triângulos equiláteros, teremos triângulos acutângulos, obtusângulos e retos -- desenhei o primeiro em violeta e o segundo em preto. Para os acutângulos o ortocentro H fica dentro do triângulo, logo dentro do círculo. Já para os obtusângulos o ortocentro H fica sempre fora do triângulo, e portanto fora do círculo. Para os triângulos retos (não desenhei algum), o ortocentro H fica justamente sobre o círculo (aqui entendido como a linha da circunferência, para a área direi "disco"). OBS: entendo que o referido "círculo" pelas alternativas do enunciado é o que chamo de "disco".

e) olhe para o triângulo que desenhei em preto. No limite, se o formos espremendo contra a linha do círculo ele irá se apequenando até que seu baricentro G fique sobre o círculo. Daqui temos que CG = r = 1. Pela relação (1) sabemos que
Logo, no limite, há ortocentros H configurando um círculo de raio 3.
Dados os infinitos triângulo possíveis, inclusive os equiláteros e retângulos, todos os possíveis ortocentros H preencherão todo o disco de raio 3.
Conclusão: alternativa E -- disco de raio 3.

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PERGUNTA: por que esta questão está em Geom. Analítica visto que o assunto é da Geometria Plana?