Taxa de variação instantânea

por catwopir Dom 11 Jun 2023, 01:04

aoba!

Então, estava fazendo uma lista de exercícios da facul, até que me reparei com um problema que me colocou pra refletir.

o problema é o seguinte: f(x) denota a pressão atmosfera a uma altitude de x metros.

Ele queria a taxa média, ou seja: f(x+h)-f(x)/h
e queria a taxa instantânea. Aqui que surgiu duvidas.

pensei da seguinte forma: a taxa média, suponha que seja 10 atm/m, ou seja, a cada metro a pressão aumenta em 10atm. Ou seja, se ela começa com 0 atm, em 10 metros haveria 100atm
Usei a ideia de velocidade pra criar um parâmetro.

Mas agora, suponha a taxa instantânea... ou seja, você deverá pega uma distância extremamente pequena. Então, 10 atm/m continua sendo a variação. Mas qual o significado disso, posso considerar como naquela altura a pressão é de 10 atm ??
usando a velocidade como parâmetro novamente, sei que se a velocidade instantânea for 10m/s, sei que naquele exato ponto a velocidade vale 10m/s, ou seja, o velocímetro marcará 10m/s.

Espero ter conseguido me expressar de forma decente

por **Giovana Martins** Dom 11 Jun 2023, 08:02

Poxa, eu não conseguir entender a dúvida Razz

. Poderia reformular?

Se possível, poste o problema também, porque talvez fique mais fácil de elaborar uma resposta para a sua dúvida (caso eu saiba responder).

por catwopir Dom 11 Jun 2023, 10:54

bom dia, segue o enunciado:

Considere as expressões:

i) f(x+h)-f(x)/h e ii) lim f(x+h)-f(x)/h quando h tende a zero

se a função f(x) denota a pressão atmosférica a uma altitude de x metros, descreva o que cada uma das duas expressões representa. Certifique de incluir unidades envolvidas.

A minha duvida é: Sei que é taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Até ai, okay. Mas eu queria algum significa físico, ou matemático pra isso. Como falei a variação média, é visualizável, é como se você pegasse uma tabela de valor e a cada altura a pressão atmosfera segue um certo padrão pra aumentar.
Mas a instantânea não faz sentido nenhum pra mim. Suponha no ponto x, o gráfico aponte 4atm/m. como posso encarar isso.

por **tales amaral** Dom 11 Jun 2023, 11:05

catwopir escreveu:bom dia, segue o enunciado:

Considere as expressões:

i) f(x+h)-f(x)/h e ii) lim f(x+h)-f(x)/h quando h tende a zero

se a função f(x) denota a pressão atmosférica a uma altitude de x metros, descreva o que cada uma das duas expressões representa. Certifique de incluir unidades envolvidas.

A minha duvida é: Sei que é taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Até ai, okay. Mas eu queria algum significa físico, ou matemático pra isso. Como falei a variação média, é visualizável, é como se você pegasse uma tabela de valor e a cada altura a pressão atmosfera segue um certo padrão pra aumentar.
Mas a instantânea não faz sentido nenhum pra mim. Suponha no ponto x, o gráfico aponte 4atm/m. como posso encarar isso.

No apêndice da parte 1 do livro "Tópicos de Física" eles explicam velocidade instantânea (são conceitos equivalentes). Talvez ajude.

por **Giovana Martins** Dom 11 Jun 2023, 14:26

catwopir escreveu:
bom dia, segue o enunciado:

Considere as expressões:

i) f(x+h)-f(x)/h e ii) lim f(x+h)-f(x)/h quando h tende a zero

se a função f(x) denota a pressão atmosférica a uma altitude de x metros, descreva o que cada uma das duas expressões representa. Certifique de incluir unidades envolvidas.

A minha duvida é: Sei que é taxa de variação média e taxa de variação instantânea. Até ai, okay. Mas eu queria algum significa físico, ou matemático pra isso. Como falei a variação média, é visualizável, é como se você pegasse uma tabela de valor e a cada altura a pressão atmosfera segue um certo padrão pra aumentar.
Mas a instantânea não faz sentido nenhum pra mim. Suponha no ponto x, o gráfico aponte 4atm/m. como posso encarar isso.

Acho que agora eu entendi.

A taxa média de variação de uma função em um intervalo definido representa geometricamente o declive de reta definida. Em termos simplistas, é o famoso ∆y/∆x. Em física essa ideia está associada à velocidade média num certo intervalo de tempo como você pontuou.

A taxa de variação de uma função num ponto representa geometricamente o declive da reta tangente ao gráfico de uma função no ponto considerado. Em termos simplistas, seria a derivada no ponto considerado. Em física, essa taxa de variação transmite a ideia exatamente no ponto considerado, ou seja, a velocidade instantânea.

Seja o corpo A que descreve uma velocidade hipotética v(t) = t² + 2t + 1, com 0 ≤ t ≤ 2.

Digamos que a gente queira descobrir a velocidade média do corpo A (taxa de variação média):

Vm = [v(b) - v(a)]/(b - a) = [v(2) - v(0)]/(2 - 0) = (9 - 1)/2 = 4 m/s

Digamos que a gente queira descobrir a velocidade do corpo A no instante t = 0,5 s (taxa de variação instantânea):

V(1) = (0,5)² + 2 x 0,5 + 1 = 2,25 m/s

Espero que isso atenda de alguma forma. Eu tenho a impressão de que para responder a sua pergunta faz-se necessário um conhecimento mais aprofundado sobre Cálculo I, o qual eu não tenho, mas acho que isso deve responder de alguma forma.

por catwopir Dom 11 Jun 2023, 18:50

Giovana, tava pensando dessa forma, usando a velocidade como analogia, cheguei ao seguinte pensamento:

Quando você faz a taxa de variação instantânea é como se você estivesse olhando a pressão naquela altura. Ou seja, traçando uma linha horizontal, todos os objetos que estiverem ali sofrerão a mesma pressão. Conforme você sobe, menor a pressão, ou seja, menor a pressão por metro.

Ou seja, no espaço pelo tempo, ao escolher um tempo aleatório, você associa uma velocidade, ou seja, o tanto de metro que varia a cada segundo. Transportando isso pra pressão, a cada altura você associa a uma pressão por metro, ou seja, o tanto de pressão que há em um metro naquela altura.

Ficaria muito grato se alguém apontasse algum erro, ou alguém que corrobora com meu pensamento.

por **Giovana Martins** Sáb 17 Jun 2023, 12:01

catwopir escreveu:Giovana, tava pensando dessa forma, usando a velocidade como analogia, cheguei ao seguinte pensamento:

Quando você faz a taxa de variação instantânea é como se você estivesse olhando a pressão naquela altura. Ou seja, traçando uma linha horizontal, todos os objetos que estiverem ali sofrerão a mesma pressão. Conforme você sobe, menor a pressão, ou seja, menor a pressão por metro.

Ou seja, no espaço pelo tempo, ao escolher um tempo aleatório, você associa uma velocidade, ou seja, o tanto de metro que varia a cada segundo. Transportando isso pra pressão, a cada altura você associa a uma pressão por metro, ou seja, o tanto de pressão que há em um metro naquela altura.

Ficaria muito grato se alguém apontasse algum erro, ou alguém que corrobora com meu pensamento.

Desculpe a demora Embarassed

. Durante a semana eu não consigo logar.

A propósito eu não acho que essa passagem esteja errada, exceto pelo trecho "Conforme você sobe, menor a pressão, ou seja, menor a pressão por metro.". O enunciado diz somente que f(x) denota a pressão atmosférica em função da variável "x", mas nada diz quanto às relações de proporcionalidade entre f(x) e "x".