(UFES) Função

A empresa de turismo VEST-TUR oferece uma viagem para grupos de 30 ou mais pessoas. Em grupos de 30 pessoas, cada indivíduo paga 100 reais. Em grupos com mais de 30 pessoas, todos do grupo recebem um desconto, no preço da viagem, de 1 real por pessoa que excede as 30 iniciais. Com base nessas informações, resolva o que está sendo solicitado em cada item abaixo.

A) Determine a expressão do preço pago por pessoa, em reais, em função do número de pessoas do grupo. Se um
grupo de estudantes quiser contratar a viagem da VEST-TUR pagando, no máximo, 60 reais cada um, calcule o
número mínimo de estudantes que precisa haver no grupo.

B) Determine a expressão do valor total, em reais, recebido pela empresa, em função do número de pessoas do
grupo. Calcule o número de pessoas do grupo que torna esse valor total máximo.

C) Suponha que, para essa viagem, a empresa tenha um custo de R$1.400,00, independente do tamanho do
grupo, mais R$40,00 para cada pessoa do grupo. Calcule o número máximo de pessoas que pode haver no
grupo, de modo que o custo que a empresa tenha nessa viagem não ultrapasse o valor total recebido por ela.

A) se x = 30, o preço é de R$ 100,00 para cada
se x > 30, o preço é 100 - (x - 30) = 130 - x,
sendo x o número de pessoas que irão à viagem.
Mas tem um grupo que quer pagar no máximo 60 reais cada um. Então, eles precisam levar gente, pois se forem só 30, todos pagarão 100 reais.
P = 130 - x = 60 -> x = 70 pessoas
Então precisa haver, no mínimo, 100 pessoas nessa viagem para todas pagarem no máximo 60 reais.

B) Para saber quanto dinheiro a empresa vai receber, é muito fácil. É só pegarmos a função de preço unitário e multiplicarmos pelo número de pessoas. Assim...
D(x) = x * (130 - x) = - x² + 130x
Vemos que o valor de - x² é negativo e o enunciado pergunta sobre um valor máximo. Bom... Confere, já que a concavidade dessa equação vai ser para cima. É só usarmos a fórmula agora.
Xmáx = 130 / 2 = 65 pessoas

C) Então a equação do custo seria...
C(x) = 1400 + 40x
E temos que os ganhos da empresa são...
D(x) = - x² + 130x
Vamos diminuir o quanto eles ganham por quanto eles perdem. Esse será o lucro deles.
L(x) = - x² + 90x - 1400
E vamos ver para quais valores essa equação zera, afinal de contas, ele quer saber qual o máximo de passageiros que pode ter para o lucro ser zero.
Δ = 8100 - 5600 = 2500
x = - 90 +- 50 / - 2
Isso pode ser...
x = 20 ou x = 70
Se ele quer o número máximo, então podem ir, no máximo, 70 passageiros.


Espero ter ajudado. ^_^