Progressões

IME São dados os pontos P0 e P1 distantes 1 cm entre si. A partir destes dois pontos são obtidos os demais pontos Pn, para todo n inteiro maior do que um, de forma que:



• o segmento Pn P(n - 1) é 1 cm maior do que o segmento P(n – 1) P(n – 2); e

• o segmento Pn P(n - 1) é perpendicular a P0P(n – 1)



Determine o comprimento do segmento P0 P24.

Gaba: 70

Obs.: Eu queria saber como eu posso fazer essa questão tendo uma PA de ordem 3, porque eu não compreendi outras resoluções da internet e só consegui chegar numa relação na qual as distâncias P0P2,P0P3...P0P24 seriam uma PA de terceira ordem de razão 2 com a1=5, mas, tentando achar o termo geral, eu entro num polinômio de grau 3 com 4 incógnitas que estão ficando quebradas e sem sentido.

Mostre alguma resolução que vc tem.

Seja \(x_n\) o comprimento de \(\overline{P_0P_{n}}\). Notamos que \(P_0, P_{n-1}, P_n\) são vértices de um triangulo retângulo, e o comprimento de \( \overline{P_{n-1}P_n}\) é \(n\). Pelo teorema de Pitágoras temos que:

\(x_n^2 = n^2 + x_{n-1}^2\)

Nosso objetivo é encontrar \(x_{24}\). Para isso basta somar as equações acima:

\( \displaystyle \begin{array}{ccl}
\cancel{x_1^2} &= &1^2 \\
\cancel{x_2^2} & = & 2^2 + \cancel{x_1^2}\\
\cancel{x_3^2} & = & 3^2 + \cancel{x_2^2}\\
 & \vdots & \\
\cancel{x_{23}^2} & = & 23^2 + \cancel{x_{22}^2}\\
x_{24}^2 & = & 24^2 + \cancel{x_{23}^2}\\
\hline
x_{24}^2 &=& (1^2 +2^2+ \cdots + 24^2) \end{array}\)

Disso segue que

\( x_{24}^2  = \dfrac{24 \cdot 25 \cdot 49}{6}  = 4 \cdot 25 \cdot 49 \implies \boxed{x_{24} = 70}\)

Obs.: Usei que \(1^2 + 2^2+ 3^2+ \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}6 \). Se o problema era justamente como calcular isso, vc me avisa.



Se vc prefere geometria analitica, ou complexos, também dá. No fim das contas vai cair na mesma coisa. Suponha que cada ponto desses está no plano complexo (ou seja, é um número complexo). Pra simplificar, tomamos \(P_0 = 0\) e \(P_1 = 1\). Assim, o que queremos calcular é justamente o módulo de \(P_{24}\).  Pelas informações do enunciado, devemos ter (lembre que multiplicar por i rotaciona em 90° no sentido anti-horário):

\( ni \dfrac{P_{n-1}}{|P_{n-1}|} = P_n - P_{n-1} \)

Agora vamos obter uma recorrência com o módulo de \(P_n\):

\( P_n = \dfrac{P_{n-1}}{|P_{n-1}|} (ni  + |P_{n-1}|) \)

notamos que \( \dfrac{P_{n-1}}{|P_{n-1}|}\) é unitário e \( |P_{n-1}| \) é real. Daí tomando o módulo ficamos com:

\( |P_n|^2 = n^2 + |P_{n-1}|^2  \)

Agora basta somar de 1 até 24, como antes

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{24} |P_n|^2 = \sum_{n=1}^{24} n^2 + \sum_{n=1}^{24} |P_{n-1}|^2 \implies\)

\( |P_{24}|^2 = \dfrac{24\cdot 25 \cdot 49}{6} = 4\cdot 25 \cdot 49 \implies \boxed{|P_{24}| = 70}\)

DaoSeek escreveu:Seja \(x_n\) o comprimento de \(\overline{P_0P_{n}}\). Notamos que \(P_0, P_{n-1}, P_n\) são vértices de um triangulo retângulo, e o comprimento de \( \overline{P_{n-1}P_n}\) é \(n\). Pelo teorema de Pitágoras temos que:

\(x_n^2 = n^2 + x_{n-1}^2\)

Nosso objetivo é encontrar \(x_{24}\). Para isso basta somar as equações acima:

\( \displaystyle \begin{array}{ccl}
\cancel{x_1^2} &= &1^2 \\
\cancel{x_2^2} & = & 2^2 + \cancel{x_1^2}\\
\cancel{x_3^2} & = & 3^2 + \cancel{x_2^2}\\
 & \vdots & \\
\cancel{x_{23}^2} & = & 23^2 + \cancel{x_{22}^2}\\
x_{24}^2 & = & 24^2 + \cancel{x_{23}^2}\\
\hline
x_{24}^2 &=& (1^2 +2^2+ \cdots + 24^2) \end{array}\)

Disso segue que

\( x_{24}^2  = \dfrac{24 \cdot 25 \cdot 49}{6}  = 4 \cdot 25 \cdot 49 \implies \boxed{x_{24} = 70}\)

Obs.: Usei que \(1^2 + 2^2+ 3^2+ \cdots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}6 \). Se o problema era justamente como calcular isso, vc me avisa.



Se vc prefere geometria analitica, ou complexos, também dá. No fim das contas vai cair na mesma coisa. Suponha que cada ponto desses está no plano complexo (ou seja, é um número complexo). Pra simplificar, tomamos \(P_0 = 0\) e \(P_1 = 1\). Assim, o que queremos calcular é justamente o módulo de \(P_{24}\).  Pelas informações do enunciado, devemos ter (lembre que multiplicar por i rotaciona em 90° no sentido anti-horário):

\( ni \dfrac{P_{n-1}}{|P_{n-1}|} = P_n - P_{n-1} \)

Agora vamos obter uma recorrência com o módulo de \(P_n\):

\( P_n = \dfrac{P_{n-1}}{|P_{n-1}|} (ni  + |P_{n-1}|) \)

notamos que \( \dfrac{P_{n-1}}{|P_{n-1}|}\) é unitário e \( |P_{n-1}| \) é real. Daí tomando o módulo ficamos com:

\( |P_n|^2 = n^2 + |P_{n-1}|^2  \)

Agora basta somar de 1 até 24, como antes

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{24} |P_n|^2 = \sum_{n=1}^{24} n^2 + \sum_{n=1}^{24} |P_{n-1}|^2 \implies\)

\( |P_{24}|^2 = \dfrac{24\cdot 25 \cdot 49}{6} = 4\cdot 25 \cdot 49 \implies \boxed{|P_{24}| = 70}\)

Estava fazendo tempestade em copo d'água complicando minhas contas, fui seguindo o caminho de tentar achar um termo geral pra uma PA de ordem três que eu achei, e me vi procurando 4 incógnitas p/ um polinômio de grau 3 e fazendo muito sistema! Mas eu consegui compreender as duas soluções e são muito mais fáceis do que eu tava seguindo rs. 
Enfim, obrigada!

Elcioschin, eu enviei como estava ficando minha resolução há um tempo, só vi agora que ela não foi. 

A sequência

\( x_n = 1^2+ 2^2+ \cdots + n^2\)

é uma PA de ordem 3, então de fato existe um polinomio p de grau 3 tal que \(p(n) = x_n\). Então se escrevermos \(p(x) = a +bx+cx^2 + dx^3\), colocando alguns valores podemos obter um sistema de equações e encontrar os coeficientes. Temos por exemplo, \( p(0) = 0, p(1) = 1, p(2) = 5, p(3) = 14\). Esses valores são suficientes já que o polinomio tem grau 3. Se vc já estudou cálculo numérico, basicamente o que vc quer é interpolar esses pontos. Daí existem varias formas de fazer, sem ter que resolver o sistema. E pra esse problemas  de PA de ordem superior o método de interpolação de Newton é muito bom. Recomendo dar uma olhada na tecnica geral, pois vou explicar só o caso particular que funciona aqui mesmo. Digamos que vc tem uma PA de ordem 3 como a que temos, e digamos que os termos de ordem 0,1,2,3 são conhecidos. Precisa ser esses termos pra dar certo. No nosso caso esses termos são 0,1,5,14. Daí fazemos a sequencia das diferenças, até restar um único número:

\( \displaystyle \begin{array}{cccc}
\boxed{0} & 1 & 5 & 14 \\
\boxed{1} &4 & 9 & \\
\boxed{3} &5 &   &  \\
\boxed{2} &  & &
\end{array} \)

(ou seja, cada linha de baixo é a diferença dos termos consecutivos da linha de cima). Os termos circulados serão os coeficientes do polinomio, quando ele for escrito da forma:

\(\displaystyle p(x) = 0 \binom x0 + 1 \binom x1 + 3 \binom x2  + 2 \binom x3\)

Aqui os símbolos de números binomais indicam os polinomios:

\( \displaystyle \binom x0 = 1, \qquad \binom x1  = x, \qquad \binom x2 = \dfrac{x(x-1)}{2}, \qquad \binom x3 = \dfrac{x(x-1)(x-2)}{3!}\)

Usamos esses símbolos para os polinomios pois a fórmula é quase igual ao dos números binomais. Com isso teríamos:

\(p(x) = 0 + x + 3 \cdot \dfrac{x(x-1)}{2} + 2 \cdot \dfrac{x(x-1)(x-2)}{6} \)

E podemos calcular p(24):

\(p(24) = 0 + 24 + 3 \dfrac{24\cdot 23}{2} + 2 \cdot \dfrac{24\cdot 23 \cdot 22}{6} = 4900\)

De maneira geral, se vc tem uma PA de ordem n, e sendo \(a_0, a_1, a_2, \dots, a_n\) os primeiros termos que aparecem em cada linha quando fazemos as diferenças das sequencias (de cima para baixo), o polinomio que procuramos é:

\(\displaystyle p(x) = a_0 \binom x0 + a_1 \binom x1 + a_2 \binom x2  + a_3 \binom x3+ \cdots + a_n\binom xn \)

Também existem outras formas de interpolar. Por exemplo, usando o polinomio interpolador de Lagrange:

\( p(x) = 0 \dfrac{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)} + 1  \dfrac{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)} + 5 \dfrac{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)} + 14 \dfrac{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)} \)

Claro que é uma formula grande, mas por outro lado não é necessário simplificar. Apenas calcular p(24):

\(p(24) = 0 + \dfrac{24\cdot 22 \cdot 21}{2} + 5 \dfrac{24 \cdot 23 \cdot 21}{-2} + 14 \dfrac{24 \cdot 23 \cdot 22}{6} = 4900\)


Também existem outras maneiras de calcular somas do tipo \( 1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k\), e com o conhecimento delas vc pode calcular qualquer PA de ordem até k sem precisar interpolar polinomios. Vou colocar em outro post um exemplo.

Vamos encontrar fórmulas pra somas do tipo \( 1^k + 2^k+ \cdots + n^k\). Digamos que

\(S_0 = 1^0 + 2^0 + \cdots + n^0\)

\( S_1 = 1^1 + 2^1 + \cdots + n^1\)

\( S_2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \)

e assim sucessivamente.  Vou mostrar como encontrar \( S_k\) conhecidos todos os S anteriores. Por exemplo, sabendo que \(S_0 = n\)  e \(S_1 = \dfrac{n(n+1)}2\) vamos encontrar \(S_2\). Começamos com a identidade:

\( (i + 1)^3  = i^3 + 3 i^2 + 3i + 1\)

\( (i+1)^3 - i^3  = 3 i^2 + 3i + 1\)

Agora somamos de 1 até n. Repare que vai virar uma soma telescópica no lado da esquerda:

\( \displaystyle \sum_{i = 1}^n ((i+1)^3 - i^3) =\sum_{i = 1}^{n} ( 3 i^2 + 3i + 1) \implies \)

\( \displaystyle (1+n)^3 - 1^3 = 3 \sum_{i = 1}^{n} i^2 + 3 \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i= 1}^n 1 \implies \)

\( n^3 + 3n^2+3n = 3 S_2 + 3S_1 + S_0 \)

Como conhecemos \(S_1\) e\( S_0\), podemos calcular \(S_2\):

\( 3 S_2 = n^3 + 3n^2 + 3n - n - \dfrac{n(n+1)}{2} \implies S_2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\)

De maneira geral, partindo de \(( 1+i)^{k+1}\) podemos encontrar \(S_k\) conhecendo os S anteriores da mesma forma

Caramba, botei a questão com dúvidas em um método e você me apresentou várias formas de entendê-la, além de dar dicas em pa de ordem superior, no geral. Muito obrigada, novamente!